Задачи для самостоятельного решения. 1. Дан закон распределения дискретной с

1. Дан закон распределения дискретной с. в. Х:

	0,1	0,3	0,2	0,4

Постройте многоугольник распределения д. с. в.; определите ее числовые характеристики , , ; покажите и на чертеже.

2. В рекламных целях торговая фирма вкладывает в каждую десятую единицу товара денежный приз размером 1 тыс. руб. Составьте закон распределения случайной величины – размера выигрыша при пяти сделанных покупках. Найдите математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

3. Клиенты банка, не связанные друг с другом, не возвращают кредиты в срок с вероятностью 0,1. Составьте закон распределения числа возвращенных в срок кредитов из пяти выданных. Найдите начальные и центральные моменты трех порядков этой случайной величины.

4. Найдите закон распределения числа пакетов трех акций, по которым владельцем будет получен доход, если вероятность получения дохода по каждому из них равна соответственно 0,5; 0,6; 0,7. Найдите математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины.

5. Торговый агент имеет пять телефонных номеров потенциальных покупателей и звонит им до тех пор, пока не получит заказ на покупку товара. Вероятность того, что потенциальный покупатель сделает заказ, равна 0,4. Составьте закон распределения числа телефонных разговоров, которые предстоит провести агенту. Найдите математическое ожидание, дисперсию и моду этой случайной величины.

6. Даны законы распределения двух независимых случайных величин:

	Х 1						Х 2
	p	0,4	0,2	0,1	0,3		p	0,5	0,25	0,25

Составьте закон распределения их разности и проверьте выполнение формул и .

7. По многолетним статистическим данным известно, что вероятность рождения мальчика 0,515. Составьте закон распределения с. в. Х – числа мальчиков в семье из четырех детей. Найдите математическое ожидание, дисперсию, моду и функцию распределения этой случайной величины.

8. Радист вызывает корреспондента, причем каждый последующий вызов производится лишь в том случае, если предыдущий вызов не принят. Вероятность того, что корреспондент примет вызов, равна 0,4. Составьте закон распределения числа вызовов, если: а) число вызовов не более пяти; б) число вызовов не ограничено.

9. Среди 10 изготовленных приборов три неточных. Составьте закон распределения числа неточных приборов среди взятых наугад четырех приборов. Найдите математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

10. Вероятность поражения вирусным заболеванием куста земляники равна 0,2. Составьте закон распределения числа кустов земляники, зараженных вирусом, из четырех посаженных кустов. Найдите функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию.

11. В билете три задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0,9, второй – 0,8, третьей – 0,7. Составьте закон распределения числа правильно решенных задач в билете и вычислите математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

12. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8 и уменьшается с каждым выстрелом на 0,1. Составьте закон распределения числа попаданий в цель, если сделано три выстрела. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

13. Дан ряд распределения случайной величины:

	р 1	р 2

Найдите функцию распределения этой случайной величины, если ее математическое ожидание равно 3,4, а дисперсия равна 0,84.

14. Из пяти гвоздик две белые. Составьте закон распределения и найдите функцию распределения случайной величины, выражающей число белых гвоздик среди двух одновременно взятых.

15. В магазине продаются пять отечественных и три импортных телевизора. Составьте закон распределения случайной величины – числа импортных из четырех наугад выбранных телевизоров. Найдите функцию распределения этой с. в. и постройте ее график.

16. Охотник, имеющий четыре патрона, стреляет по дичи до первого попадания или до израсходования всех патронов. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,6, при каждом последующем – уменьшается на 0,1. Необходимо: а) составить закон распределения числа патронов, израсходованных охотником; б) найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

17. Дана функция распределения с. в. Х:

Найдите: а) ряд распределения; б) числовые характеристики;

в) построите многоугольник распределения и график .

18. На двух станках производятся одинаковые изделия. Даны законы распределения числа бракованных изделий, производимых в течение смены на каждом из них:

	0,1	0,6	0,3			0,5	0,5

Необходимо: а) составить закон распределения числа производимых в течение смены бракованных изделий обоими станками;

б) проверить свойство математического ожидания суммы случайных величин.

19. Дискретная с. в. Х имеет только два возможных значения: х ₁ и х ₂, причем х ₁< х ₂. Вероятность того, что Х примет значение х ₁ равна 0,2. Найдите закон распределения Х, зная математическое ожидание М (Х)=2,6 и среднее квадратическое отклонение, равное 0,8.

20. Два консервных завода поставляют продукцию в магазин в пропорции 2:3. Доля продукции высшего качества на первом заводе составляет 90 %, а на втором – 80 %. В магазине куплено три банки консервов. Найдите математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение числа банок с продукцией высшего качества.

21. Задан закон распределения:

	0,4	0,2	0,2	0,05	0,1	0,05

Найдите и .

22. Стороны прямоугольного участка Х и Y в результате погрешностей измерения оказываются случайными величинами с такими распределениями:

		19,5	19,7		20,2			29,5	29,8		30,1
		0,2	0,05	0,7	0,05			0,15	0,15	0,65	0,05

Найдите математическое ожидание площади участка, если известно, что измерения проводились независимыми способами.

	0,1	0,2	0,35	0,2	0,1	0,05

23. Процент людей, купивших новое средство от головной боли после того, как увидели его рекламу по телевидению, есть случайная величина, заданная так:

Необходимо: а) убедиться, что задан ряд распределения; б) найти функцию распределения; в) определить вероятность того, что более 20 % людей откликнутся на рекламу.

24. Приблизительно 10 % бутылок бракуются на линии из-за серьезных трещин в стекле. Если две бутылки отобраны случайно, найдите математическое ожидание и дисперсию числа бутылок, имеющих серьезные дефекты.

25. Представитель фирмы, торгующей оборудованием для тяжелой промышленности, ежедневно встречается с одним или двумя покупателями с вероятностями 1/3 и 2/3. В результате каждой встречи продавец может реализовать оборудование на 50000 условных денежных единиц с вероятностью 0,9. Составьте распределение ежедневных продаж. Найдите математическое ожидание и дисперсию стоимости продаж.

26. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что деталь окажется бракованной, равна 0,01. Выбирается партия из 200 деталей. Составьте закон распределения с. в. X – числа бракованных деталей в партии, найдите математическое ожидание и дисперсию.

27. В стае 1000 птиц, из них 50 окольцованных. Поймано 100 птиц: а) запишите первые четыре члена ряда распределения числа окольцованных птиц в выборке; б) найдите среднее число окольцованных птиц среди 100 пойманных и его вероятность; в) найдите среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

4. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Существуют случайные величины, множество значений которых непрерывно заполняют некоторый числовой промежуток. Такие случайные величины можно задать с помощью функции распределения.

Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна на всей числовой оси и имеет почти всюду (кроме, возможно, конечного числа точек) непрерывную производную , которую называют функцией плотности вероятности или дифференциальной функцией распределения. График плотности распределения называется кривой распределения.

Свойства дифференциальной функции распределения:

1. .

2. или .

На рис. 5 штриховкой указана данная вероятность.

Рис. 5. Функция плотности вероятности

3. .

4. Если известна функция , то .

Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет конкретное значение, равна 0.

Примеры:

1. С. в. Х задана функцией распределения вероятностей:

.

Найдите параметр с, плотность вероятности и вероятности попадания с. в. Х в интервалы (1; 2,5), (2,5; 3,5).

Решение.

Так как с. в. Х – непрерывна, то должна быть непрерывной функцией в любой точке, в частности, и при . Так как , то , откуда . Таким образом,

Плотность вероятности находим по формуле :

.

Вероятность попадания случайной величины Х в интервале вычисляется по формуле . Подставив в нее данные, получим:

,

.

2. Плотность вероятности н. с. в. Х равна:

Найдите функцию распределения и постройте ее график.

Решение.

Функцию распределения найдем по формуле .

Если , то

.

Если , то

.

Если , то

.

Таким образом,

График имеет вид (рис. 6):

Рис. 6. Функция распределения

3. С. в. Х задана функцией плотности вероятности:

Требуется найти: а) коэффициент а; б) ; в) функцию ; г) построить график и .

Решение.

а) По свойству 3 дифференциальной функции распределения:

.

Таким образом,

б) используя свойство 2, получим:

;

в) Если , то .

Если , то

.

Если , то

.

Таким образом,

г)

Рис. 7. Функции и