Задачи для самостоятельного решения. 1. Случайная величина Х распределена равномерно на отрезке [0; 4]

1. Случайная величина Х распределена равномерно на отрезке [0; 4]. Найдите функцию распределения, математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение величины Х.

2. Паром для перевозки автомашин через залив подходит к причалу через каждые два часа. Считая, что время прибытия автомашин случайная величина Х – распределено равномерно, определите среднее время ожидания автомашиной прихода парома и дисперсию времени ожидания.

3. С. в. Х задана функцией распределения вероятностей

Найдите математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины.

4. Плотность вероятности с. в. Х имеет вид . Найдите параметр С.

5. Известно, что с. в. Х~ . Найдите вероятность того, что с. в. Х примет значение, заключенное в интервале (14; 16).

6. Имеется с. в. Х~ . Найдите интервал, в который с вероятностью попадет случайная величина.

7. Известно, что средний расход удобрений на один гектар пашни составляет 80 кг, а среднее квадратическое отклонение расхода равно 5 кг. Считая расход удобрений нормально распределенной случайной величиной, определите диапазон, в который вносимая доза удобрений попадет с вероятностью 0,98.

8. Задано математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной с. в. Х. Требуется: а) найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу ; б) найти вероятность того, что абсолютное значение отклонения Х - а окажется меньше ; в) найти интервал, в который попадет величина Х с вероятностью р; г) найти интервал, в котором практически окажутся все значения величины Х («правило трех сигм»).

Задача	а					р
						0,5223
						0,5821
						0,8904

9. Известно, что с. в. Х~ . Напишите плотность вероятности Х.

10. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали Х, которая распределена нормально с математическим ожиданием, равным 50 мм. Фактически длина изготовленных деталей не менее 32 и не более 68 мм. Найдите вероятность того, что длина наугад взятой детали: а) больше 55 мм; б) меньше 40 мм.

11. Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением =20 г. Найдите вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превышающей по абсолютной величине 10 г.

12. Н. с. в. Х распределена по показательному закону, заданному плотностью вероятности

Найдите вероятность того, что в результате испытания Х попадет в интервал (0,13; 0,7).

13. Известно, что с. в. Х~ . Найдите такое , что .

14. Масса тропического грейпфрута, выращенного в Краснодарском крае, – нормально распределенная случайная величина с неизвестным математическим ожиданием и дисперсией, равной 0,04. Агрономы знают, что масса 65 % фруктов меньше, чем 0,5 кг. Найдите ожидаемую массу случайно выбранного фрукта.

15. На перекрестке дорог движение регулируется автоматическим светофором, включающим зеленый свет через каждые 2 мин. Время простоя автомобиля у этого светофора, проехавшего на красный свет, есть случайная величина, распределенная равномерно с плотностью на участке (0; 2) мин. Найдите среднее время простоя и среднее квадратическое отклонение.

16. Менеджер ресторана по опыту знает, что 70 % людей, сделавших заказ на вечер, придут в ресторан поужинать. В один из вечеров менеджер решил принять 20 заказов, хотя в ресторане было 15 свободных столиков. Чему равна вероятность того, что более 15 посетителей придут на заказанные места.

17. Срок службы батареек для слуховых аппаратов приблизительно подчиняется показательному закону с =1/12. Какова доля батареек со сроком службы более 9 дней.

18. Н. с. в. Х распределена по показательному закону с параметром =2. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

19. С. в. Х~ . Найдите математическое ожидание случайной величины .

20. Процент всхожести семян равен 90 %. Оцените вероятность того, что из 1000 посеянных семян взойдет от 850 до 950 семян включительно.

21. Среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины равно 0,5. Найдите вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине не превосходит 1.

22. Длина детали представляет собой нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием 150 мм и средним квадратическим отклонением 0,5 мм. Какую точность размера детали можно гарантировать с вероятностью 0,95.

23. Устройство состоит из 20 независимо работающих элементов. Вероятность безотказной работы каждого элемента за 10 часов равна 0,9. Оцените вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и средним числом отказов за 10 часов окажется меньше двух.

24. Средняя глубина посева семян составляет 3 см. Отдельные отклонения от этого значения случайные, распределены нормально со средним квадратическим отклонением 0,5 см. Определите: а) долю семян, посеянных на глубину менее 4 см; б) долю семян, посеянных на глубину менее 2 см.

25. Случайные отклонения размера детали от номинала распределены нормально; математическое ожидание размера детали равно 240 мм, среднее квадратическое отклонение равно 0,5 мм. Годными считаются детали, размер которых заключен между 239,5 и 240,5 мм. Определите: а) вероятность изготовления годной детали; б) процент бракованных деталей, если точность изготовления ухудшится и будет характеризоваться средним квадратическим отклонением 0,6 мм.

26. Случайные значения веса зерна распределены нормально. Математическое ожидание веса зерна равно 0,2 г, среднее квадратическое отклонение равно 0,05. Нормальные всходы дают зерна, вес которых более 0,17. Определите: а) процент семян, от которых ожидаются нормальные всходы; б) величину, которую не превзойдет вес отдельного зерна с вероятностью 0,96.

27. Средний диаметр стволов деревьев на некоторой делянке равен 25 см, среднее квадратическое отклонение равно 5 см. Считая, что диаметр ствола – случайная величина, распределенная нормально, определите: а) процент стволов, имеющих диаметр свыше 20 см; б) размер, который не превзойдет диаметр ствола дерева с вероятностью 0,96.