Работа гибких стержней на центральное сжатие

Центральным сжатием называется случай, когда равнодействующая внешних сил проходит через центр изгиба.

Если при сжатии исключена возможность потери устойчивости, то стержень проверяется на прочность по тем же формулам, что и растянутый стержень:

N/A_nR_yγ_c<=1

В металлических конструкциях применяются гибкие стержни, теряющие свою несущую способность от потери устойчивости. Поэтому предельным напряжением гибкого сжатого стержня является критическое напряжение потери устойчивости состояния.

Гибкие прямые упругие стержни, подверженные действию осевой сжимающей силы, могут иметь две формы устойчивого состояния:

1) прямолинейную – когда стержень остается прямым N<N_cr;

2) криволинейную – при искривленной оси стержня N>=N_cr.

Рис. 23. Гибкий стержень при центральном сжатии

При незначительном увеличении нагрузки искривление стержня начинает быстро нарастать и стержень теряет несущую способность.

С некоторым запасом нормы рассчитывают стержни по критической силе по формуле Эйлера:N_cr=π²EI/L²_ef,где L_ef – расчетная длина стержня;

L_ef=μl,μ– коэффициент приведения полной длины стержня к расчетной, зависящий от условия закрепления концов стержня и его нагружения. Принимается по табл. 30 СП

Критические напряжения определяются по формуле: σ_cr=N_cr/A=π²E/λ²

где λ– гибкость стержня, λ=L_ef/i;i= -радиус инерции

Формула Эйлера получена в предположении постоянного значения модуля упругости Е. Это имеет место до тех пор пока σ_cr<σ_p, так как при большем напряжении при наличии пластических деформаций модуль упругости становится переменным. Из условия σ_cr<=σ_p можно получить то минимальное значение гибкости, при котором формула Эйлера справедлива: λ_min=π

Рис. 24. Диаграмма работы стали

При гибкостях меньше λ_min для данной марки стали потеря устойчивости происходит в упругопластической стадии работы материала. Пока стержень сохраняет прямолинейную форму, напряжения распределяются равномерно по сечению. При отклонении стержня от прямолинейного состояния на эти напряжения накладываются напряжения изгиба. Со стороны дополнительного сжатия от изгиба материал работает в упругопластической стадии, со стороны растягивающих напряжений от изгиба материал работает упруго. Таким образом, при σ_cr>σ_p волокна на выпуклой стороне стержня разгружаются по упругому закону, на вогнутой же стороне они догружаются с модулем E',определяемым наклоном касательной в диаграмме работы в точке σ_cr.

Гибкий стержень при центральном сжатии в упруго-пластической

стадии работы

Поскольку E> E', то нейтральная ось изгиба смещается в сторону растягивающих напряжений.

Положение нейтральной оси можно определить из условия равновесия:

(y₁)dy₁= (y₂)dy₂

При выпучивании на величину е, момент внешних сил получает приращение:

ΔM_e=Ne

а момент внутренних сил: ΔM_i= (y₁)dy₁+ (y₂)dy₂

Если момент внешних сил меньше момента внутренних сил, то состояние устойчивое; если, Если момент внешних сил больше момента внутренних сил то состояние неустойчивое, стержень теряет несущую способность; если моменты равны, то состояние критическое.

Ясинский Ф.С. показал, что формула Эйлера применима и в этом случае, если модуль упругости Е заменить приведённым модулем Т:

σ_cr=π²T/λ², T=(EI₁+E'I₂)/I

где I₁ I₂ – моменты инерции сжатой (догружаемой) и растянутой (разгружаемой) при выпучивании части сечения относительно нейтральной оси; I – момент инерции сечения.

Согласно CП проверка устойчивости центрально-сжатого стержня выглядит так:

N/φAR_yγ_c<=1

E не зависит от марки стали и явл. постоянной величиной. Поэтому критическое напряжение является функцией гибкости.

СП вводит понятие условной гибкости:. =λ

Практически невозможно получить строгое сжатие стержня. Сопряжение элементов, даже ассиметрия сечения элементов всегда приводит к наличию эксцентриситетов, это так называемые случайные или конструктивные эксцентриситеты, которые нельзя заранее определить. Поэтому наши нормы представляют коэффициент

φ=φ₁φ₂ ;φ₁=σ_cr^ц/R_y; φ₂= σ_cr^{внецентр}/R_y

σ_cr^ц – при центральном сжатии критическое напряжение, вычисленное в предположении строго центрального сжатия;

σ_cr^{внецентр} – критическое напряжение при наличии случайных небольших эксцентриситетов.