Сложные учетные ставки

Рассмотрим антисипативный способ начисления сложного процента. Пусть

d (%) - сложная годовая учетная ставка,

d - относительная величина учетной ставки,

k - коэффициент наращения для случая учетной ставки,

f - номинальная годовая учетная ставка.

Тогда по прошествии первого года наращенная сумма по формуле (2.5) составит

S = P / (1 - d ), еще через год

S = S / (1 - d ) = Р / (1 - d ) , и т.д.

По прошествии n лет

S = P / (1 - d ) (4.1).

Коэффициент наращения тогда

k = 1 / (1 - d ) (4.2).

Сравнивая формулы (3.1) и (4.1), можно увидеть, что при равенстве ссудного процента и учетной ставки наращение первоначальной суммы в случае антисипативного метода происходит быстрее. Поэтому часто можно столкнуться с утверждением, что декурсивный метод начисления более выгоден для заемщика, а антисипативный - для кредитора. Это справедливо лишь для невысоких процентных ставок, тогда расхождение не очень значительно. Но с ростом процентной ставки разница в величине наращенной суммы становится огромной и сравнение двух методов с точки зрения выгодности утрачивает смысл.

Для периода начисления, не являющегося целым числом, имеем

k = 1 / ((1 - d ) (1 - n d )) (4.3)

Для начисления процентов m раз в году формула наращенной суммы имеет такой вид

S = P / (1 - f/m) или

S = P / ((1 - f/m) (1 - l f/m)), где

mn -целое число интервалов начисления за весь период начисления, l - часть интервала начисления.

При непрерывном начислении процентов наращенная сумма рассчитывается по формуле

S = P: (1 - f/m)

Из полученных формул путем небольших преобразований получим формулы для вычисления первоначальной суммы, срока начисления и величины учетной ставки:

P = S(1 - d ) . n = (lnP/S) / ln(1-d ). n = (lnP/S) / m ln(1-f/m).

d = 1 - . f = m(1 - ).

В случаях, когда существует возможность выбора условий финансовой операции и требуется инструмент для корректного сравнения различных процентных ставок, пользуются эквивалентными процентными ставками.

Эквивалентность процентных ставок различного типа.

Эквивалентные процентные ставки - это такие процентные ставки разного вида, применение которых при одинаковых начальных условиях дает одинаковые финансовые результаты.

Для их нахождения используются уравнения эквивалентности, принцип составления которых заключается в следующем. Выбирается величина, которую можно рассчитать при помощи различных процентных ставок (обычно это величина наращенной суммы S). На основе равенства двух выражений для данной величины и составляется уравнение эквивалентности, из которого путем соответствующих преобразований получается соотношение, выражающее зависимость между процентными ставками различного вида. Вспомним обозначения, использованные ранее

i -простая годовая ставка ссудного процента,

d - простая годовая учетная ставка,

i - сложная годовая ставка ссудного процента,

d - сложная годовая учетная ставка,

j - номинальная ставка ссудного процента

f - номинальная учетная ставка

Запишем также известные нам формулы для определения наращенной суммы при различных способах начисления процентов:

S = P (1 + n i) (1)

S = P/(1 - n d) (2)

S = P (1 + i ) (3)

S = P (1 + j/m) (4)

S = P/(1 - d ) (5)

S = P/(1 - f/m) (6)

Приравнивая эти формулы попарно, можно получить соотношения, выражающие зависимость между любыми двумя различными процентными ставками. Например, приравнивая (1) и (2), получим

1 + n i = 1/(1-n d), откуда

i = d/(1-n d),

d = i/(1 + n i).

Из формул (1) и (3) получаем

1 + n i = (1 + i ) ,

i = ((1 + i ) -1) / n,

i = - 1.

Из формул (1) и (4) получим

1 + n i = (1 + j/m) ,

i = ((1 + j/m) - 1) / n,

j = m( - 1).

Аналогично можно получить зависимости между любыми другими эквивалентными процентными ставками. Для различных случаев сложных процентов получаем уравнение эквивалентности, приравнивая (3) и (4):

(1 + i ) =(1 + j/m) , откуда i = (1 + j/m) -1, j = m( - 1).

В данном выражении i - годовая ставка сложного процента, эквивалентная номинальной процентной ставке, называется эффективной ставкой сложных процентов. Она помогает оценить реальную доходность финансовой операции. При m=1 очевидно, что i = j.

Далее, приравнивая (3) и (5), получим

(1 + i ) = 1/(1 - d ) , откуда i = d/(1-d), d = i /(1 + d).

Аннуитет.

В большинстве современных коммерческих операций подразумеваются не разовые платежи, а последовательность денежных поступлений (или выплат) в течение определенного периода. Это может быть серия доходов и расходов некоторого предприятия, выплата задолженностей, взносы для создание тех или иных фондов и т.д. Такая последовательность называется потоком платежей.

Поток однонаправленных платежей с равными интервалами между последовательными платежами в течение определенного количества лет называется аннуитетом (финансовой рентой).

Наиболее распространенные примеры аннуитетов - регулярные взносы в пенсионный фонд, погашение долгосрочного кредита, выплата процентов по ценным бумагам.

Поступления аннуитета можно обозначить следующим образом:

CF 1 = CF 2 = … = CF n = CF.

Аннуитеты могут между собой различаться по следующим характеристикам

- величиной каждого отдельного платежа,

- интервалом времени между двумя последовательными платежами (периодом аннуитета),

- сроком от начала аннуитета до конца его последнего периода (бывают и неограниченные по времени - вечные аннуитеты),

- процентной ставкой, применяемой при наращении или дисконтировании платежей.

По времени наступления платежей различают два вида аннуитета

1. обыкновенный аннуитет – когда платежи происходят в конце каждого периода – ПОСТНУМЕРАНДО.

2. авансовый аннуитет – тогда платежи происходят в начале каждого периода – ПРЕНУМЕРАНДО.

По продолжительности денежного потока различают:

1. Срочный аннуитет - денежный поток с равными поступлениями в течение ограниченного промежутка времени.

2. Бессрочный аннуитет - когда денежные поступления продолжаются достаточно длительного времени.

С практической точки зрения наибольший интерес представляют собой аннуитеты, в которых все платежи равны между собой (постоянные аннуитеты), либо изменяются с определенной закономерностью. Такие аннуитеты мы и рассмотрим.

Пусть

P - величина каждого отдельного платежа,

i - сложная процентная ставка, по которой начисляются проценты,

S - наращенная (будущая) сумма для k-го платежа аннуитета постнумерандо,

S - наращенная (будущая) стоимость всего аннуитета постнумерандо (сумма всех платежей с процентами),

A - современная (настоящая) величина k-го платежа аннуитета постнумерандо (сумма настоящих стоимостей всех платежей),

A - современная (настоящая) стоимость всего аннуитета постнумерандо (сумма настоящих стоимостей всех платежей),

Sп - наращенная сумма аннуитета пренумерандо,

Ап - современная величина аннуитета пренумерандо,

n - число платежей.

Рассмотрим аннуитет постнумерандо с ежегодными платежами Р в течение n лет, на которые начисляются проценты по сложной ставке i.

Для первого платежа S платежи будут начисляться (n-1) раз, тогда, согласно формуле (3.1) для сложных ставок ссудных процентов,

S = Р (1 + i ) .

Для второго платежа S (проценты на него будут начисляться на год меньше) -

S = Р (1 + i ) и т.д.

На последний платеж, произведенный в конце n-го года, проценты уже не начисляются, т.е.

S = Р.

Тогда для общей наращенной суммы

S = , (1)

где k - коэффициент наращения аннуитета с параметрами i, n. Он является суммой членов геометрической прогрессии, для которой первый член a =1, а знаменатель равен (1+ i ) = q. Суммы членов геометрической прогрессии в математике вычисляется по формуле

S = a (q -1) / (q-1), тогда (1) примет вид

S = Р ((1+i ) -1)/i .

Коэффициент наращения равен

k = ((1+i ) -1)/ i .

Вычислим теперь современную величину А данного аннуитета. Современное значение каждого платежа будет определяться по формуле

А = Р / (1+i ) .

Тогда современная величина всего аннуитета составит

А = ,

где а - коэффициент приведения аннуитета. Это опять сумма геометрической прогрессии, теперь уже с параметрами а = q = 1/(1+i ). Тогда для а получим

а = (1/(1+i ) ((1/1+i ) -1)) / (1/(1+i )-1) = (1 - (1+i ) ) / i ,

для современной величины А соответственно

А = Р (1 - (1+i ) ) / i .

Видно, что современная величина аннуитета и наращенная сумма связаны соотношением:

S = А(1+i ) .

Из полученных формул можно получить выражение для размера очередного платежа:

Р=S/ k = S i / (1+i ) -1 или

Р=А/ а = А i / (1 - (1+i ) )

Рассмотрим теперь аннуитет пренумерандо с теми же условиями.

Отличие от предыдущего случая здесь состоит в том, что период начисления процентов на каждый платеж увеличивается на один год, т.е. каждая наращенная сумма S увеличивается в (1+i) раз. Следовательно, для всей суммы имеем

Sп = (1+i ) = S(1+i ).

Для коэффициента наращения пренумерандо k имеем:

k = k (1+i )

Для определения современных значений каждого платежа дисконтирование по заданной ставке i проводится на один раз меньше, чем в случае аннуитета пренумерандо. Поэтому каждая современная величина А будет больше в (1+i) раз. Таким образом,

Ап= .

Для коэффициента приведения получаем

а = а (1+i ).

Если срок аннуитета неограничен, мы имеем случай вечного аннуитета - перпетуитета. Для аннуитета пренумерандо выражения для наращенной суммы и современной величины приобретут вид

S = Р ((1+i ) -1)/i = ,

А = Р (1-(1+i ) )/i = Р: i .

Для аннуитета пренумерандо соответственно получим

Sп = Р (1+i ) ((1+i ) -1)/i = ,

Ап = Р (1+i ) (1-(1+i ) )/i = Р + Р / i

3.2. Концепция учета инфляционного обесценения денег

в принятии финансовых решений.

Концепция учета фактора инфляции в управлении различными аспектами финансовой деятельности предприятия заключается в необходимости реального отражения стоимости его активов и денежных потоков, а также в обеспечении возмещения потерь доходов, вызываемых инфляционными процессами, при осуществлении финансовой деятельности.

Рассмотрим механизм влияния инфляции на результат финансовых операций. Пусть S - сумма, покупательная способность которой равна покупательной способности суммы S при отсутствии инфляции. S - S = S.

( S / S) 100% - это выражение называется уровень инфляции.

S / S = - это темп инфляции.

Тогда S = S + S = S + S = S(1 + ).

(1 + ) = I - индекс инфляции. Он показывает, во сколько раз выросли цены.

Если - годовой уровень инфляции, то через год S будет больше S в (1 + ) раз. Через два года - в (1 + ) раз, через n лет - в (1 + ) раз - видна аналогия со сложной процентной ставкой.

Рассмотрим период в n лет, причем n = n + n , n - целое число лет, n , - оставшаяся дробная часть года. Тогда

I = (1 + ) (1 + n ).

Иногда бывает известен уровень инфляции за интервал меньше года, тогда за период, равный m таких интервалов,

I = (1 + ) .

Пусть -годовой уровень инфляции, i - простая годовая ставка, тогда S = Р(1 + i ), в то же время S = Р(1 + i)(1 + ), следовательно, (1 + i ) = (1 + i)(1 + ). Отсюда выведем следующее выражение:

i = i + + i

Это выражение называется формулой Фишера, а элемент ( + i ) - инфляционной премией. Ее нужно прибавлять к процентной ставке для компенсации инфляционных потерь.

Для простых ссудных процентов S = Р(1 + n i ), в то же время S = Р(1 + n i) I , тогда 1 + n i =(1 + n i) I , отсюда i = ((1 + ni) I -1) / n.

Для простых учетных ставок аналогично - 1 / (1 - nd ) = I (1 / (1-nd), отсюда d =(I - 1 + nd) / I n.

Для сложных ссудных процентов: (1 + i ) = (1 + i) I , тогда i =(1 + i) -1; если начисление происходит несколько раз в году, то (1 + /m) = (1 + j/m) I отсюда =m((1 + j/m) - 1)

Для сложных учетных ставок аналогично: d =1- (1-d) / , f =m(1 - (1-f/m) /

3.3. Концепция учета фактора риска.

Эффективность любой финансовой или хозяйственной операции и величина сопутствующего ей риска взаимосвязаны. Не учитывая фактора риска невозможно провести полноценный инвестиционный анализ. Таким образом, основная задача -научиться оценивать величину риска и устанавливать взаимосвязь между нею и уровнем доходности конкретной операции.

Концепция учета фактора риска состоит в объективной оценке его уровня с целью обеспечения формирования необходимого уровня доходности финансовых операций и разработки системы мероприятий, минимизирующих его негативные финансовые последствия для деятельности предприятия.

Независимо от происхождения и сущности риска главнейшей цели бизнеса – получению дохода на вложенный капитал – соответствует следующее определение риска.

Риск – это возможность неблагоприятного исхода, т.е. неполучение инвестором ожидаемой прибыли

Чем выше вероятность получения низкого дохода или убытков, тем рискованнее проект. А чем рискованнее проект, тем выше должна быть его норма доходности.

При выборе из нескольких возможных вариантов вложения капитала степень риска можно достаточно точно оценить, а также определить соответствующую данному уровню риску величину доходности проекта.