Сложные ставки ссудных процентов

Если после очередного интервала начисления доход, т.е. начисленные за данный интервал времени процентов не выплачиваются, а присоединяются к денежной сумме, имеющейся на начало этого интервала, для определения наращенной суммы применяют формулы сложных процентов. Сложные ссудные процентов в настоящее время очень распространены в различных финансовых операциях.

Введем обозначения. Пусть

i - относительная величина годовой ставки сложных ссудных процентов,

k - коэффициент наращения в случае сложных процентов,

j - номинальная ставка сложных ссудных процентов,

Если за интервал начисления принимается год, то по прошествии первого года наращенная сумма в соответствии с формулой (1.7) составит

S = P (1 + i ),

еще через год это выражение применяется уже к сумме S

S = S (1+i ) = P (1 + i )

и так далее. По прошествии n лет наращенная сумма составит

S = P (1 + i ) (3.1)

коэффициент наращения соответственно будет равен

k = (1 +i ) (3.2)

При начислении простых процентов он составил, как мы видели ранее

k = (1 + n i)

Сравнивая два последних выражения можно видеть, что чем больше период начисления, тем больше разница в величине наращенной суммы при начислении простых и сложных процентов. Поэтому инвестиции на условиях сложного процента более выгоды, чем на условиях простого процента при условии равенства номинальных доходностей в годовом исчислении. Как правило, когда возникает возможность выбора между низкой сложной процентной ставкой и более высокой простой следует отдавать предпочтение первому варианту. Естественно, если в распоряжении есть достаточно длительный период времени. Сумма, наращенная по сложной процентной ставке, уже через небольшое (в зависимости от разницы в величине процентных ставок) количество интервалов начисления превысит сумму, наращенную по простой ставке. Использование в расчетах сложного процента более логично, поскольку в этом случае капитал, генерирующий доходы, постоянно возрастает. Считается что по мере получения любых денежных поступлений, в силу требования рациональности, последние должны наращиваться либо в ходе данного инвестиционного проекта, либо в других инвестиционных проектах.

Применение принципа простого процента, кроме того, стимулирует к изъятию начисленных процентов в пользу текущего потребления, текущей хозяйственной деятельности или другого инвестиционного процесса.

Если срок ссуды n в годах не является целым числом, множитель наращения определяют следующим образом

k = (1+i ) (1 + n i ), где

n = n + n , n - целое число лет, n , - оставшаяся дробная часть года.

Допустим, начисление сложных процентов осуществляется не один, а несколько раз в году. В этом случае оговаривается номинальная ставка процентов j - годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемая на каждом интервале начисления.

Если в году m равных интервалов, а номинальная ставка процентов j, то на каждом интервале применяется процентов ставка, равная j / m.

Если срок ссуды составляет n лет, то по формуле (3.1), получим выражение для определения наращенной суммы

S = P(1 + j/m) , (3.6)

где mn - общее число интервалов начисления за весь срок ссуды.

Если общее число интервалов начисления не является целым числом (mn - целое число интервалов начисления, l -часть интервалов начисления), то выражение (3.6) принимает вид

S = P(1 + j/m) (1 + l j /m).

В России в настоящее время наиболее распространены начисление процентов по полугодиям, поквартальное и ежемесячное. Такие проценты, начисляемые с определенной периодичностью, называются дискретные.

В мировой практике часто применяется непрерывное начисление сложных процентов, т.е. продолжительность интервала начисления стремится к нулю, а число интервалов m -к бесконечности.

В этом случае для вычисления наращенной суммы служит следующее выражение

S = P (1 + j/m) (3,8)

Для расчетов в этом случае можно использовать известную в математике формулу второго замечательного предела:

(1 + 1/m) = e, где е = 2,71828....

из этой формулы следует (1 + j/m) = е .

Тогда для наращенной суммы получаем

S = P e (3.9)

Здесь k = e (3.10)

Значение наращенной суммы тогда можно вычислять, находя значения экспоненты в той или иной степени в спец. таблицах.

Очевидно, что непрерывным способ начисления процентов дает максимальную величину наращенной суммы при прочих равных условиях.

Из формулы (3.1) получаем

P = S: (1+i ) = S a. (3.11)

Если вспомнить, что, как и в случае простых процентов, определение настоящей величины суммы S называется дисконтированием, то коэффициент а назовем коэффициентом дисконтирования. Эта величина обратна коэффициенту наращения, т.е.

k а = 1.

Формула (3.11) дает понять, что текущий финансовый эквивалент будущей денежной суммы тем ниже, чем отдаленнее срок ее получения и чем выше норма доходности.

Найдем выражения для величин i, j, n.

Из формулы (3.1) получаем i = - 1.

Из формулы (3.6): j = m( - 1).

Преобразуем формулу (3.1): S/P = (1+i ) .

Прологарифмируем обе части равенства:

ln S/P = ln (1+i ) = n ln (1 + i ).

Тогда n = (ln S/P) / ln(1 + i ).

Аналогично из формулы (3.6) получим

n = (ln S/P) / m ln(1 + i ).