Основные положения. И дисперсию (второй центральный момент)

Полученные экспериментально значения результатов измерений, содержащие случайную составляющую погрешности необходимо подвергнуть обработке согласно специальных методик для оценки истинного значения измеряемой величины или степени приближения полученных результатов к истинному значению. В практике многократных измерений вместо нахождения функций распределения, требующих проведения весьма объемных исследований, используют значения моментных функций [3]. Среди них, в первую очередь, следует выделить математическое ожидание (первый начальный момент)

и дисперсию (второй центральный момент)

.

Значение математического ожидания (при условии равенства нулю систематической погрешности) часто принимают за истинное значение измеряемой величины. Физический смысл этого параметра можно представить как координату центра тяжести фигуры, образованной осью абсцисс и кривой распределения.

Дисперсия случайной погрешности равна дисперсии результатов наблюдений и является характеристикой рассеивания относительно математического ожидания. Физический смысл этого параметра можно представить как момент инерции фигуры, образованной осью абсцисс и кривой распределения.

Так как дисперсия имеет размерность квадрата измеряемой величины, то она не совсем удобна для оценки характеристики рассеивания. Поэтому для этой цели чаще используют положительное значение корня квадратного из дисперсии, называемое средним квадратическим отклонением результатов наблюдений

Точечные оценки параметров наблюдений

На практике оценку значений параметров распределения приходится производить на основе ограниченной выборки – ряда значений, принимаемой измеряемой величиной в n независимых опытах.

Оценку параметра называют точечной, если она выражается одним числом [4]. Любая точечная оценка, вычисленная на основании опытных данных, является их функцией и поэтому сама должна представлять собой случайную величину с распределением, зависящим от распределения исходной случайной величины, в том числе и от самого оцениваемого параметра, и от числа опытов n.

К точечным оценкам предъявляется ряд требований [5], определяющих их пригодность для описания самих параметров.

1. Оценка должна быть состоятельной, то есть при увеличении числа наблюдений, она должна приближаться (сходится по вероятности) к значению оцениваемого параметра.

2. Оценка должна быть несмещенной, то есть ее математическое ожидание должно быть равно оцениваемому параметру.

3. Оценка должна быть эффективной, то есть ее дисперсия должна быть меньше дисперсии любой другой оценки данного параметра.

Получаемые в результате многократных наблюдений отдельные наблюдения X₁; X₂;…¾;X_n, где n- число наблюдений, можно рассматривать как n независимых случайных величин с одним и тем же распределением, совпадающим с распределением F_x(x).

В качестве точечной оценки истинного значения измеряемой величины или оценки математического ожидания (м.о.) используется среднее арифметическое полученных результатов.

Так как , а среднее квадратическое отклонение (с. к.о.) , то получаемая точечная оценка м.о. будет удовлетворять всем трем требованиям.

В качестве точечной оценки дисперсии случайной погрешности определяют величину

, а в качестве точечной оценки с.к.о. определяют

Эта оценка характеризует сходимость результатов отдельных наблюдений, то есть степень их концентрации относительно среднего арифметического. Последнее имеет дисперсию в n раз меньшую дисперсии случайной погрешности. Поэтому в качестве точечной оценки дисперсии среднего арифметического принимается выражение