| №
| Вид уравнения
| Способ решения
|
Дифференциальные уравнения I порядка.
Дифференциальным уравнением первого порядканазывается соотношение, связывающее функцию, ее первую производную и независимую переменную, т.е. соотношение вида: 
Если такое соотношение преобразовать к виду  то это дифференциальное уравнение первого порядка будет называться уравнением, разрешенным относительно производной.
Общим решениемдифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция y = j(x, C), которая при подстановке в исходное уравнение вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество.
Решение вида у = j(х, С0) называется частным решениемдифференциального уравнения.
Задачей Кошиназывается нахождение любого частного решения дифференциального уравнения вида у = j(х, С0), удовлетворяющего начальным условиям у(х0) = у0.
|
|
| Уравнения с разделяющимися переменными.
( )
| Перенести одно из слагаемых в правую часть.
Собрать с одной стороны равенства переменную х, с другой стороны равенства у.
Проинтегрировать правую и левую части равенства.
Записать общее решение:
Найти особое решение из уравнения:
|
|
| Однородное уравнение
( )
| Проверить однородность функций 
Сделать замену  ,  .
Получаем уравнение с разделяющимися переменными.
|
|
| Линейное уравнение
| Делаем замену
Получаем систему уравнений:
Находим общее решение:
|
|
| Уравнение Бернулли
| Делаем замену
Получаем систему уравнений:
 
Находим общее решение:
|
|
| Уравнение в полных дифференциалах
если его левая часть полный дифференциал некоторой функции  ,
т.е.  .
| проверяем выполнение условия  , ищем
 и 
Решение записываем в виде  .
|
Дифференциальные уравнения II порядка
В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка можно записать в виде
где F − заданная функция указанных аргументов. Если дифференциальное уравнение можно разрешить относительно второй производной y'', то его можно представить в следующем явном виде:
Общим решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция y = j(x, C1, С2), которая при подстановке в исходное уравнение вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество.
Решение вида у = j(х, С10, С20) называется частным решением дифференциального уравнения.
Задачей Коши называется нахождение любого частного решения дифференциального уравнения вида у = j(х, С10, С20), удовлетворяющего начальным условиям  .
|
| Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.
|
|
| Уравнения вида 
| Порядок понижается путем двукратного интегрирования уравнения.
|
|
| Уравнение не содержит явно у
| Делаем замену  , тогда 
Уравнение принимает вид  – уравнение первого порядка.
Пусть  общее решение.
Делая обратную замену, получаем
 и 
|
|
| Уравнение не содержит явно х
| Делаем замену  , тогда 
Уравнение принимает вид  – уравнение первого порядка.
Пусть  общее решение.
Делая обратную замену, получаем
 и 
|
| Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (ЛОДУ).
|
|
| 
| Составляем характеристическое уравнение
|
|
| Если 
| Общее решение 
|
|
| Если 
| Общее решение 
|
|
| Если 
| Общее решение
|
| Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (ЛНДУ).
|
|
| 
| Общее решение  ,
где  - общее решение ЛОДУ,  - частное решение ЛНДУ
|
|
|  можно найти методом вариации произвольной постоянной
| Составляем систему
Решив систему, найдем  и  . Затем найдем  и  . Найденные значения подставляем в
|
|
| можно найти по виду правой части 
|
|
|
| 
| Если 0 не является корнем характеристического уравнения, то 
|
Если 0 является корнем кратности r характеристического уравнения, то
|
|
| 
| Если α не является корнем характеристического уравнения, то
|
Если α является корнем кратности r характеристического уравнения, то
|
|
| 
| Если βi не является корнем характеристического уравнения, то
|
Если βi является корнем кратности r характеристического уравнения, то
|
|
| 
| Если α+βi не является корнем характеристического уравнения, то
|
Если α+βi является корнем кратности r характеристического уравнения, то
|
