Основные уравнения движения. формула Н. Е. Жуковского для гидроудара

Основополагающими работами по теории гидравлического удара и переходным процессам в движущейся жидкости являются исследования великого русского ученого Н. Е. Жуковского.

Не вдаваясь в подробности вывода, приведем основные уравнения сохранения массы и количества движения, которые обычно используются при исследовании неустановившегося одномерного движения капельной жидкости в трубопроводах постоянного проходного сечения:

, (14.11)

, (14.12)

где под p подразумевается сумма статического давления в данном сечении и давления от силы тяжести столба жидкости, расположенного выше рассматриваемого сечения; c – приведенная скорость звука в движущейся по трубопроводу жидкости.

В левой части уравнения сохранения количества движения (14. 12) опущено выражение , поскольку можно показать, что для реальных жидкостей, движущихся в магистралях питания двигателей, величина этого выражения представляет не более 0,005 величины .

Если принять обычные для теории гидравлического удара предположения Н. Е. Жуковского, что инерция стенок трубопровода при деформациях может не учитываться, а деформация жидкости и стенок трубопровода подчиняется закону Гука, то приведенную скорость звука можно представить в следующем виде

, (14.13)

где c₀ - скорость распространения звука в жидкости; δ - толщина стенки трубопровода; K, E - соответственно модуль объемного сжатия жидкости и модуль упругости первого рода материала трубопровода.

Рассмотрим, как связаны между собой давление и скорость потока при мгновенном изменении скорости течения жидкости.

Пусть жидкость движется со скоростью -w₀ по трубопроводу, площадь сечения которого равна единице. В момент времени τ=0 в сечении 2-2 (рис. 14.2) происходит резкое изменение скорости, обусловленное, например, закрытием клапана, и скорость принимает значение w. Возникшее в момент τ=0 возмущение в сечении 2-2 будет перемещаться вверх со скоростью c и за бесконечна малый 'промежуток времени dτ распространится на длину (c-w₀)dτ. Масса m жидкости, которую при этом захватит возмущение, будет равна m=r(c-w₀)dτ, а проекция изменения количества движения на ось трубопровода объема, захваченного возмущением, изменится на величину d(mw)=r(c-w₀)dτ(w+w₀). Это изменение количества движения происходит под действием импульса сил fdτ, равного

fdτ=(p-p₀)dτ- spd_т(с-w₀)dτ, (14.16)

где p₀, p - давление в потоке до и после возмущения;f - силы, действующие на выделенный объем; s - касательные напряжения на стенке трубопровода от сил вязкости.

Приравнивая изменение количества движения импульсу сил и отбрасывая члены второго порядка малости, получим

p-p₀=r(с-w₀)(w+w₀). (14.17)

Если закрытие клапана в сечении 2-2 происходит мгновенно, т. е. w=0, а начальной скоростью потока w₀ можно пренебречь по сравнению со скоростью распространения возмущения с (для компонентов ракетных топлив значение с находится в диапазоне 500-1500 м/с, а скорость жидкости w₀ как правило, не превышает 10 м/с), то придем к формуле Н. Е. Жуковского для вычисления значения превышения давления над начальным при гидроударе

p=p₀+rсw₀. (14.18)

При заданных значениях p₀, r, c вопрос об определении давления гидроудара p сводится к нахождению скорости потока w₀ перед сечением, в котором жидкость тормозится.

Волна повышения давления, возникшая в сечении 2-2, со скоростью с будет распространяться против движения жидкости в сторону бака, постепенно захватывая все новые слои жидкости. В результате давление и скорость жидкости в трубопроводе будут со временем меняться и для их определения следует воспользоваться уравнениями сохранения массы, количества движения и энергии, которые для одномерного изотермического движения гомогенной жидкости обычно применяются в виде уравнений (14.11), (14.12). Методы решения этих уравнений для случая движения капельной жидкости в настоящее время достаточно хорошо разработаны, в частности, для нахождения параметров потока можно использовать метод распространяющихся волн (метод Д'Аламбера), метод характеристик, методы теории функций комплексного переменного.