Динамика топлива в баке ЛА, совершающего гармонические колебания в переменном поле массовых сил

Большинство эксплуатируемых в настоящее время ракет-носителей (РН) и КЛА используют для создания необходимой тяги жидкостные ракетные двигатели (ЖРД). При этом предполагается на борту летательного аппарата (ЛА) наличие необходимого запаса компонент жидкого ракетного топлива. Эти компоненты размещаются внутри топливных баков (ТБ) и составляют, обычно, основную часть от общей массы всей РН (более 90 %). Для КЛА это соотношение значительно меньше. Однако, целью настоящих исследований являются первые и вторые степени РН, для которых влияние жидкостного наполнения на общую динамику полета велико.

В зависимости от общей компоновки ракеты топливные емкости могут иметь цилиндрическую, сферическую, либо тороидальную форму. Наиболее часто топливные баки первых ступеней РН имеют цилиндрическую форму. При этом, форма днища баков может быть плоской, выпуклой, вогнутой или конической. Общий внутренний объем баков может колебаться в весьма широких пределах: от нескольких десятков литров до сотен кубометров. Внутри ТБ всегда имеется газовая подушка (ГП), необходимость которой обусловлена целым рядом причин [2]. В частности, газовая подушка должна компенсировать тепловое расширение жидкости, обеспечивать работу дренажно-предохранительной системы баков, возможные ошибки при проведении ее заправки баков топливом и т. д. Объем газовой подушки находится в пределах от 1% до 5% от общего внутреннего объема бака. Наличие ГП предполагает существование внутри полости баков поверхности раздела фаз «жидкость-газ» на протяжении всего времени полета ЛА. Изучение особенностей поведения этой свободной поверхности (СП) в разнообразных условиях полета является одной из самых важных задач внутрибаковой гидродинамики.

Движение ЛА непосредственно после запуска маршевой двигательной установки характеризуется высоким уровнем продольной перегрузки и высоким уровнем заполнения баков топливом. Топливо в первые секунды полета ЛА оказывается прижатым к нижнему днищу бака под действием продольной осевой перегрузки. Внешние динамические воздействия на корпус ТБ обусловлены аэродинамическим сопротивлением, работой рулевых двигателей вибрациями корпуса ЛА, вследствии работы МДУ. Эти внешние силовые воздействия имеют разнонаправленный характер. Однако, их можно разделить на две составляющие, одна из которых действует в направлении продольной оси ракеты (осевая составляющая), а другая располагается в поперечной плоскости ЛА. Учитывая специфику указанного этапа движения ЛА, действием внешних сил в осевом направлении ЛА можно пренебречь. В тоже время, динамические воздействия на ТБ в поперечном направлении могут вызвать плескания топлива. Учитывая значительную массу жидкости, боковые плескания топлива осложняют работу органов СУОС. Поэтому большое количество публикаций посвящено указанной проблеме. Основные особенности математических моделей состоят в следующем.

Предполагается, что в поле массовых сил, имеющих ускорение , располагается осесимметричный бак. При этом, направление действия внешнего поля массовых сил противоположно направлено продольной оси бака OX (рис. 12.1).

Рис. 12.1. - Математическая модель динамики жидкости в баке, совершающем гармонические колебания под действием внешней вынуждающей силы в горизонтальной плоскости

1 – газ наддува; 2 – стенка бака;3 - свободная поверхность жидкости в невозмущенном положении å, м²; 4 – объем колеблющейся жидкости Q, м³; 5 – смоченная внутренняя поверхность бака S, м²; n - вектор внешнего массового ускорения, м/с²; z^* = z₀cos(wt) – колебания бака в направлении оси OZ, под действием внешней вынуждающей силы, м.

Жидкость занимает в баке объем Q, площадь смоченной поверхности – S, свободная поверхность жидкости в невозмущенном положении – å. Поле массовых сил предполагается стационарным и потенциальным, что вполне допустимо на этапе работы МДУ, за исключением весьма короткого времени выхода МДУ на расчетный режим работы при ее запуске (0,8 с - 1,0 с). На форму бака, которая с течением времени не меняется (бак абсолютно жесткий), никаких ограничений не накладывается (кроме осевой симметрии). Что касается жидкости, то

- жидкость однородная, идеальная, несжимаемая;

- влияние поверхностного натяжения жидкости на ее динамику пренебрежимо мало;

- перемещения, скорости и углы наклона свободной поверхности жидкости малы;

- начальное движение жидкости безвихревое.

Таким образом, рассматривается задача о колебаниях жидкости в баке в линейной постановке. Предполагается, что внешние силовые воздействия на баки ЛА на начальном этапе работы МДУ вызывают лишь малые отклонения СП от равновесного положения.

На основе указанных выше допущений из уравнения движения несжимаемой, идеальной жидкости и уравнения неразрывности непосредственно следует известный интеграл Коши-Лагранжа

, (12.1)

где Ф – потенциал скоростей (), м²/с; v – скорость жидкой частицы, м/с; t – время, с; p – давление, н/м²; r - плотность жидкости, кг/м³; f(t) – произвольная функция времени, м²/с².

Вместо потенциала скоростей Ф используется потенциал смещений c:Ф = ¶c/¶t. При этом предполагается, что в поперечной плоскости бака YOZ действует внешняя сила и бак совершает горизонтальные колебания по закону

z^* =z₀coswt, (12.2)

где z₀ – амплитуда колебаний, м; w - частота колебаний, 1/с.

Вообще говоря, направление колебаний бака в поперечной плоскости может быть любым. Однако, оси OY и OZ всегда можно сориентировать так, чтобы направление колебаний совпало с одной из осей. В результате, краевая задача будет иметь вид

Dc = 0 в Q, (12.3)

на S, (12.4)

на å, (12.5)

где D = - оператор Лапласа.

Решением поставленной задачи является функция вида

c = zz₀cos(wt)+ , (1.6)

где j_n – собственные функции; s_n = - обобщенные координаты СП; l_n = r ; |_x=0; m_n = - обобщенные массы; N_n²= ; w_n – собственная частота n-го тона колебаний.

При совпадении частоты вынуждающей силы w с одной из собственных частот колебаний жидкости w_n возникают резонансные колебания. При w = w_n обобщенные координаты СП имеют вид (из (12.6))

s_n = . (12.7)

В представленной выше математической модели жидкость полагалась идеальной, а движение безвихревым. В тоже время вязкость топлива может оказывать влияние на исследуемые динамические процессы. Очевидно, что диссипативные силы оказывают демпфирующее воздействие на колебания жидкости. Принято различать линейное демпфирование, возникающее в тонком пристеночном слое жидкости и нелинейное – обусловленное воздействием разнообразных внутрибаковых устройств на движущуюся относительно них жидкость. Линейное демпфирование связано непосредственно с вязкостью жидкости, прямо пропорционально относительной скорости движения жидких частиц вдоль стенок бака, и может быть учтено в математической модели введением дополнительного члена в дифференциальные уравнения движения относительно обобщенных координат s_n

m_n( (n=1,2 …), (12.8)

где b_n – коэффициенты линейного демпфирования вынужденных колебаний жидкости, соответствующие n-му тону.

Как свидетельствуют расчеты колебаний жидкости по представленной выше математической модели, существенное влияние на динамику ЛА могут оказывать лишь колебания первого и второго тона. Энергия колебаний более высоких тонов быстро убывает и в практических расчетах может не учитываться. Кроме того, амплитуда колебаний жидких частиц быстро убывает по мере удаления от свободной поверхности в глубь жидкого объема. Экспериментально подтверждается, что гидродинамические силы, соответствующие второму и более высоким тонам колебаний, пренебрежимо малы по сравнению с гидродинамической силой первого тона колебаний.

При малых уровнях заполнения бака жидкостью в колебательном процессе участвует весь жидкостной объем как при свободных, так и при вынужденных колебаниях даже в рамках линейной математической модели.

Как отмечалось выше, представленная математическая модель колебательного процесса получена при существенных ограничениях на параметры колебательного процесса. Прежде всего, амплитуда колебаний ограничивается значениями 0,15 радиуса емкости. При более высоких амплитудах возникают нелинейные эффекты, которые не могут быть описаны в рамках линейной теории.