 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Классификация систем массового обслуживания и показатели их эффективности
|
|
Среди экономических характеристик систем массового обслуживания наибольший интерес представляют следующие:
1) издержки ожидания в очереди;
2) издержки ожидания в системе;
3) издержки обслуживания.
В зависимости от сочетания приведенных характеристик, могут рассматриваться различные модели систем массового обслуживания. Наиболее известные модели имеют следующие общие характеристики:
· пуассоновское распределение вероятностей заявок;
· стандартное поведение заявок;
· правило обслуживания FIFO;
· единственная фаза обслуживания.
В теории массового обслуживания приняты сокращенные обозначения, в основе которых используются три буквы для первых трех параметров:
A / B / m,
где А – распределение промежутков времени между последовательно поступающими заявками; В – распределение времени обслуживания заявок; m – число обслуживающих устройств.
А и В принимают значения из следующего набора символов:
· М – показательное распределение;
· Er – распределение Эрланга порядка r;
· D – детерминированное распределение;
· G – распределение произвольного вида.
Модель А
Модель одноканальной СМО с пуассоновским входным потоком заявок и экспоненциальным временем обслуживания.
Наиболее часто встречаются задачи СМО с единственным каналом. В этом случае клиенты формируют единственную очередь, которая обслуживается одним сотрудником. Если для систем этого типа выполняются следующие условия, то:
1) заявки обрабатываются по принципу FIFO, причем каждый клиент ожидает своей очереди до тех пор, пока не будет обслужен, независимо от длины очереди;
2) появление заявки является независимым событием, однако среднее число заявок, поступающих в единицу времени, неизменно;
3) процесс поступления заявок описывается пуассоновским распределением, причем заявки поступают из неограниченного множества;
4) время обслуживания описывается экспоненциальным распределением вероятностей;
5) темп обслуживания выше темпа поступления заявок.
При выполнении этих условий модель А описывается следующими уравнениями для самой известной модели – так называемой СМО типа
М / М /1,
где М – Марковские процессы распределения времени поступления и обслуживания с одним устройством. В системе М / М /1 время между двумя поступлениями в систему требований и время обслуживания имеют экспоненциальные распределения. Такая СМО используется как модель для одного процессора компьютерной системы или как стандартное устройство ввода-вывода (например, магнитный диск).
Основными параметрами, вычисляемыми для этой системы будут:
· число заявок в единицу времени – λ;
· число клиентов, обслуживаемых в единицу времени – m;
· среднее число клиентов в системе Ls = λ/(μ-λ);
· среднее время обслуживания одного клиента в системе (включает время ожидания и время обслуживания) – Ws = 1/(μ-λ);
· среднее число клиентов в очереди – Lq = λ2/μ(μ-λ);
· среднее время ожидания клиента в очереди – Wq = λ/μ(μ-λ);
· параметр утилизации (загруженности системы) – r = λ/μ$
· вероятность отсутствия заявок в системе – Р о = 1 - λ/μ;
· вероятность более чем k заявок в системе – Pn > k = (λ/μ) k +1;
· число заявок в системе – n.
Модель В
В многоканальной системе для обслуживания с двумя и более каналами предполагается, что клиенты ожидают в общей очереди и обращаются в первый освободившийся канал обслуживания. Пример такой многоканальной однофазной системы можно увидеть в банках (если там нет электронной очереди). Из общей очереди клиенты обращаются в первое освободившееся окошко для обслуживания.
В многоканальной системе поток заявок подчиняется пуассоновскому закону, а время обслуживания – экспоненциальному. Приходящий первый обслуживается первым, и все каналы обслуживания работают в одинаковом темпе. Для многоканальной системы из n каналов должно выполняться условие r / n < 1,
где r – параметр загрузки системы; n – минимальное количество каналов, при котором очередь не будет расти до бесконечности. В противоположном случае предельные вероятности существовать не могут.
Формулы для описания системы будут иметь вид:
· вероятность того, что система свободна
· вероятность того, что в системе находится n заявок – Pn = (rn/n!) P o;
· вероятность того, что заявка окажется в очереди –
Pq = { rn +1 / [ n!(n-r)]} P o;
· среднее число занятых каналов k ср = λ/μ = r;
· среднее число заявок в очереди –
· среднее число заявок в системе – Ls = Lq + r;
· время нахождения заявки в очереди – Wq = Lq /λ;
· время нахождения заявки в системе – Ls /λ.
Модель С
Модель с постоянным временем обслуживания обозначается как M / D /1, где символ D означает, что время обслуживания – постоянная величина, а не экспоненциально распределенное. В такиъх системах клиенты обслуживаются в течение фиксированного периода времени, как, например, на автоматической мойке автомобилей. Для модели С с постоянным темпом обслуживания значения величин Lq, Wq, Ls и Ws меньше, чем соответствующие значения в модели А, имеющей переменный темп обслуживания.
Формулы для описания модели С имеют вид:
· средняя длина очереди – Lq = λ2/[2μ(μ-λ)];
· среднее время ожидания в очереди – Wq = λ/[2μ(μ-λ)];
· среднее число клиентов в системе Ls = Lq + λ/μ;
· среднее время ожидания в системе – Ws = Wq +1/μ.
Иногда приходится указывать также емкость накопителя системы (обозначим E) или число источников нагрузки (обозначим И). В этом случае будет использоваться пятибуквенное обозначение:
А / В / m /E/И.
В случае отсутствия одного из последних индексов предполагается, что его значения сколь угодно велико.
Модель D
К модели с ограниченной популяцией относятся модели с ограниченным числом потенциальных клиентов системы обслуживания. Примером могут служить определение оптимального обслуживания оборудования предприятия имеющего ограниченное число станков определенного типа, например, пять.
Особенность этой модели, по сравнению с тремя рассмотренными ранее, заключается в том, что существует взаимозависимость между длиной очереди и темпом поступления заявок.
Запись вида D / M /2/20 означает систему с двумя обслуживающими приборами, постоянным временем между двумя последовательно поступающими заявками, показательным распределением длительности обслуживания и накопителем емкостью 20 заявок.
Модель Е
Модель с ограниченной очередью отличается от предыдущих тем, что число мест в очереди ограничено. В этом случае заявка, прибывшая в систему, когда все каналы обслуживания заняты, покидает систему не обслуженной, т.е. получает отказ. Как частный случай модели с ограниченной очередью можно рассматривать модель с отказами, если количество мест в очереди сократить до нуля.
Система обслуживания M / G /1 представляет систему с пуассоновским входным потоком, произвольным распределением времени обслуживания и одним обслуживающим устройством.
Дата публикования: 2015-04-10; Прочитано: 1145 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
