Пересечение поверхностей пространственных тел

Два пространственных тела могут пересекаться по одной, двум или более линиям пересечения, определение которых сводится к построению точек, общих для поверхностей обоих пересекающихся тел. Эта задача может решаться путем по­следовательного построения точек пересечения ребер, образу­ющих или других линий поверхности одного тела с поверхность другого и наоборот, или же путем применения различных вспомогательных средств, к которым относятся вспомогательные плоскости или поверхности. Выбор вспомогательного средства зависит от условий каждой конкретной задачи.

а) Способ вспомогательных проецирующих плоскостей.

Применяется в том случае когда при пересечении поверхностей обоих тел в сечениях получаются простые для построения фигуры (прямые линии и т.п.)

Пример 1: Построить линии пересечения прямой (АВСА¹В¹С¹) и наклонной (DKFD′K′F′) призм (Риc. 85)

Точки 1,2,3,4,5 и 6 пересечения ребер прямой призмы в гранями наклонной определяются непосредственно, т.к. боковые грани прямой призмы являются горизонтально – проецирующими плоскостями. Для определения точек 7 и 8 пересечения ребра АА¹ с гранями наклонной призмы используется вспомогательная горизонтальная проекция плоскости α, проходящей через ребро АА¹ параллельно боковым ребрам наклонной призмы.

Последовательность соединения точек, принадлежащих линиям пересечения, устанавливается путем обхода поверхности наклонной призмы по граням в пределах каждой зоны пере­сечения. Соединение точек на проекциях производится с учетом их видимости.

I: 1-7-3-5-8-1

II: 2-4-6-2

Рис. 85

Пример 2: Построить линии пересечения прямого кругового конуса с прямой призмой (рис. 86).

Для определения линии пере­сечения (окружности) верхнего основания призмы с конусом используем горизонтальную плоскость уровня α. Для определения точек линий пересечения (гипербол) боковых граней призмы с поверхностью конуса используем образующие (S1 для точки 1), параллели (для точки 3) или горизонтально - про­ецирующие плоскости (например, βдля точки 2), проходящие через вершину конуса S.

Рис. 86

Пример 3: Построить линию пересечения прямого кругового конуса с шаром.

Наиболее высокая (1) и низкая (2) точки сечения определяются непосредственно на пересечении главных меридианов. Для опреде­ления остальных точек линии пере­сечения используются горизонталь­ные плоскости уровняα, βи т.д., кото­рые рассекают оба тела по параллелям, которые на пл. П₁ проецируются без искажения в виде соответствующей окружности. На пересечении параллелей (радиусы Ru r), расположенных в одной вспомогательной плоскости находятся точки (3 и 4, 5 и 6 и т.д.), принадлежащие искомой линии пересечения. Соединение точек на проекциях производится последо­вательно с учетом их видимости.

Рис. 87

Способ вспомогательных плоскостей специального положения.

Применяется для построения линий пересечения пирамид, призм, конусов и цилиндров, имеющих общую плоскость оснований, при различном их парном сочетании(иметь представление).

Метод вспомогательных концентрических сфер.

Применяется в том случае, когда выдерживаются следующие условия (рис. 88).

Рис. 88

1) Оба пересекающихся тела являются телами вращения.

2) Оси вращения обеих тел пересекаются.

3) Оси вращения параллельны какой-либо пл.проекций.

Наиболее высокая 1 и наиболее низкая 2 точки сечения определяются непосредственно на пересечении главных меридианов.

Для определения проекций остальных точек используются вспомогательные концентрические сферы с центром в (·)С. Радиус максимальной сферы R₁= C₂1₂, радиус минимальной сферы R₂= С₂D₂ (это радиус сферы, вписан­ной в наибольшее из тел, в данном случае - в конус).

Радиус остальных вспомогательных сфер берется в пределах R₂ ≤ R ≤R₁.

Сфера радиусом R пересекает цилиндр по одной окруж­ности, конус по двум окружностям, которые на пл. П₂ про­ецируются в виде прямых, перпендикулярных фронтальным проекциям осей цилиндра и конуса; соответственно, А₂В₂ и E₂F₂, M₂N₂. На пересечении этих линий находятся фр.проекции точек 5₂≡6₂ и 7₂≡8₂ принадлежащих линии пересечения. По ним известными способами определяются гор. проекции точек 5₁, 6₁, 7₁ и 8₁. Соединение точек на проекциях производится с учетом их видимости.

13.РАЗВЕРТЫВАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ТЕЛ.

Развертыванием называют процесс совмещения поверхности пространственного тела с плоскостью раскроя.

Фигура, получающаяся на плоскости, раскроя после сов­мещения с ней всех элементов поверхности тела, называют разверткой.

Поскольку на пл.раскроя все элементы поверхности тела проеци­руются без искажения, процессу построения развертки пред­шествует процесс определения натуральной величины этих элементов поверхности тела, заданной на чертеже.

К развертываемым поверхностям относятся: поверхности всех многогранников и некоторые линейчатые криволинейные поверхности - цилиндрические, конические и поверхности с ребром возврата (торсы).

Остальные поверхности относятся к неразвертываемым и для них строятся приближенные paзвертки.

Признаком развертываемости кривой поверхности служит возможность проведения на поверхности двух смежных парал­лельных или пересекающихся прямолинейных образующих, когда расстояние между ними бесконечно мало.

Построение разверток пирамид и конусов.

Построение разверток пирамид и конусов производится в следующей последовательности:

1) Определяется натуральная величина боковых ребер или образующих;

2) Определяется натуральная величина фигуры основания;

3) Строится развертка боковой поверхности тела как ряд треугольников по 3-м известным сторонам.

Пример 1: Построить развертку поверхности пирамиды S ABC (рис. 89)

Рис. 89

Натуральная величина боковых ребер определяется методом вращения вокруг оси i ┴ П₁и проходящей через вершину S. Натуральная величина основания имеется на гор. проекции так как∆A₁B₁C₁=∆ABC.

Развертка поверхности пирамиды строится на плоскости раскроя как ряд треугольников по 3-м известным сторонам. Для определения на развертке (·)К, расположенной на поверхности пирамиды, в соответствующей грани через эту точку про­водится произвольная прямая (S1), находится натуральная величина этой линии и положение ее на развертке. На этой прямой (S₀ 1₀) и находится (·)K₀.

Пример 2: Построить развертку боковой поверхности наклонного конуса (рис. 90)

Рис. 90

Развертка боковой поверхности наклонного конуса строится так же как и развертка

n- гранной вписанной в него пирамиды.

Пример 3: Построить развертку боковой поверхности прямого кругового конуса

(рис. 91).

Развертка боковой поверхности прямого кругового конуса представляет собой круговой сектор, описанный радиусом S₀A₀=l (равном длине образующей конуса), опирающегося на дугу А₀А₀ =2πR, и угол при вершине α=360⁰ R/ l.

Рис. 91

Построение разверток призм ицилиндров.

Построение разверток боковой поверхности призм и цилиндров может производиться методом перекатывания или методом нормального сечения. Оба метода с одинаковым успехом могут применяться для построения разверток призми цилиндров.

Методперекатывания

Рассмотрим метод перекатывания на примере построения

развертки боковой поверхности наклонной призмы (рис. 92).

Заменой пл. П₂ на П₄ определяем натуральную величину боковых ребер призмы. При этом ось Х₁₄ ║А₁А₁′ (В₁В₁′ или С₁С₁′). За плоскость раскроя принимаем плоскость проходящую через ребро СС’ параллельно пл. П₄. Перекатываем по плоскости рас­кроя призму, последовательно совмещая с ней грани призмы. При этом траектории движения точек А, В и С проецируются на пл. П₄ в виде прямых А₄А₀. В₄В_0,С₄С₀и т.д. ┴ С₄С₄.

Совмещенное положение вершин А₀, А₀′, В_о, В_о′ и т.д. находим с помощью отрезков А₀С₄=А₁С₁, A₀B₀ = A₁B₁ и т.д.

Положение (·)К на развертке находится с помощью прямой 11', расположенной в грани ABB′ A′ и проходящей параллельно боковым ребрам призмы.

Рис 92

Метод нормального сечения.

Рассмотрим на примере построения разверток прямого и наклонного цилиндров.

Пример 1: Построить развертку боковой поверхности прямого цилиндрa; (рис.93).

Рис. 93

Делим основание и боковую поверхность цилиндра на n равных частей (например, на 8) и проводим образующие. Совмещаем с плоскостью раскроя линию нижнего основания (1₀- 1₀), равную πd и делим ее на те же n частей. Через точки 1₀, 2₀, 3₀ и т. д. проводим прямые ┴ 1₀- 1₀ и откладываем на них натуральную величину образующих l_o l'_o, 2₀2₀′ и т.д. Соединяем точки верхнего основания плавной прямой

Пример 2: Построить развертку боковой поверхности наклонного цилиндра (рис. 94).

Рис. 94

Определяем натуральную величину образующих цилиндра путем замены плоскости П₂ на плоскость П₄, при этом Х₁₄ параллельна горизонтальной проекции оси цилиндра. Находим проекции и натуральную величину фигуры нормального сечения поверхности цилиндра плоскостью σ. Совмещаем с плоскостью рас­кроя линию нормального сечения (1₀- 1₀) и делим ее на n – частей:. Через точки 1₀,2₀,3₀ и т.д. проводим прямые ┴ (1₀ -1₀), на которых от линии нормального сечения откладыва­ем отрезки образующих от плоскости нормального сечения до верхнего и нижнего оснований.Это отрезки(1₄М) и (1₄N), которые берутся с проекции цилиндра на плоскость П₄. Полученные точки, принадлежащие верхнему и нижнему основанием, на развертке соединяем плавными кривыми.

Построение приближенных разверто к.

Приближенные развертки строятся для тел, имеющих кривую неразвертываемую поверхность. Для этого поверхность тела заменяется близкой по площади многогранной или криволинейной развертываемой поверхностью.

Метод многогранников

Кривая неразвертываемая поверхность заданного тела заменяется поверхностью вписанного или описанного многогранника и строится развертка поверхности многогранника.

Например: Построить развертку усеченного деформирован­ного конуса (рис. 95).

Верхнее и нижнее основания разбиваются на «n» частей и поверхность тела заменяется «2 n» гранной поверхностью. Определяется натуральная величина всех ребер и известным способом строится развертка поверхности многогранника.

Рис. 95

Метод цилиндрических и конических поверхностей.

Кривая неразвертываемая поверхность тела делится на некоторое количество частей, каждая из которых заменяется участком цилиндрической или конической развертываемой поверхностью.

Например: Построить приближенную развертку поверхности шара (рис. 96).

Рис. 96

Горизонтально – проецирующими плоскостями α, β, γ и т.д. раз­биваем поверхность шара на «n»-частей (например, на 8) и заменяем каждую долю цилиндрической поверхностью. Развертку участка (доли) цилиндрической поверхности производить известным способом. Полная приближенная раз­вертка должна содержать «n» разверток таких долей.