Плоскость

Задание плоскости.

Положение плоскости в пространстве определяется (рис. 21):

а) тремя точками, не лежащими на одной прямой;

б) прямой и точкой вне прямой;

в) двумя пересекающимися прямыми;

г) двумя параллельными прямыми;

д) плоской геометрической фигурой;

Рис. 21

На чертеже плоскость задается проекциями перечисленных выше элементов.

В системе фиксированных плоскостей проекций плоскость может быть задана следами, т.е. линиями, по которым она пересекает пл. проекций.

Рис. 22

l - горизонтальный след плоскости,

k - фронтальный след плоскости,

m - профильный след плоскости,

Из образованных при этом прямоугольных треугольников видно, что катеты их соответственно равны: k₁=l₂; k₃=m₂; l₃=m₂; m₂=k₃.

Прямая и точка в плоскости.

Прямая принадлежит плоскости, если она имеет с плоскостью две общие точки.

Прямая l принадлежит плос­кости (а х в), так как (·)1 этой прямой принадлежит пря­мой а и (·)2 - прямой в, лежащих в заданной плоскости(рис. 23).

Рис. 23

Точка принадлежит плоскости, если она находится на прямой, принадлежащей данной плоскости.

Точка D принадлежит пл. ∆ABC, так как она находится на прямой 1-2, расположенной в пл. ∆АВС (рис. 24).

Рис. 24

Прямые особого положения плоскости.

Прямыми особого положения называют прямые уровня и линии наибольшего наклона или ската плоскости.

Прямые уровня плоскости.

Прямой уровня плоскости наз. прямую, принадлежащую плоскости и параллельную одной из плоскостей проекций (рис.25)

Рис. 25

Прямая (h), принадлежащая плоскости и параллельная пл. П₁, наз. горизонтальной прямой уровня или горизонталью. При этом h ₂ ║ Х₁₂, h ₁ ║ l ₁.

Прямая (f), принадлежащая плоскости и параллельная пл. П₂, наз. фронтальной прямой уровня или фронталью. При этом f ₁ ║ X₁₂, f ₂║ К ₂.

Прямая (р), принадлежащая плоскости и параллельная пл.П₃, наз. профильной прямой уровня или профильной прямой.

При этом р₁ и р₂ ┴ Х₁₂, р₃ ║ m₃.

Например: В пл. ∆АВС провести горизонталь и фронталь

(рис. 26). Проекции горизонтали строим, начиная с ее фр.проекции h₂ ║Х₁₂ (линия А₂1₂) - гор. проекция горизонтали h₁ находится построением (линия A₁1₁). Аналогично строятся проекции фронтали: f ₁ ║ X₁₂(линия С₁2₁). f ₂находится построением (линия C₂2₂).

Рис. 26

Линии наибольшего наклона или ската плоскости.

Линии наибольшего наклона плоскости – это прямые, при­надлежащие плоскости и составляющие наибольший угол с плоскостью проекций.

Различают линии наибольшего наклона к плоскостям П₁, П₂ и П₃. Нетрудно доказать, что такие линии перпенди­кулярны к соответствующим следам или линиям уровня плос­кости.

Прямая ВК – линия наибольшего наклона пл. ∆АВС к пл. П₁. B₁K₁ ┴ h₁, В₂К₂ – находится построением.

Прямая ВF – линия наибольшего наклона пл. ∆АВС к пл. П₂.

В₂F₂ ┴ f₂, B₁F₁ – находятся построением (рис. 27).

Рис. 27

Плоскости частного положения.

В отличие от плоскостей общего положения, расположенных наклонно ко всем трем плоскостям проекций, различают плоскости частного положения, которые перпендикулярны или параллельны одной из плоскостей проекций.

Проецирующие плоскости.

Проецирующими наз. плоскости, перпендикулярные к одной из пл. проекций.

Рис. 28

Плоскость (α), перпендикулярная к пл. П₁, наз. горизон­тально-проецирующей (рис. 28).

Плоскость (β), перпендикулярная к пл. П₂, наз. фронталь­но-проецирующей.

Плоскость (γ), перпендикулярная к пл. П₃, наз. профильно - проецирующей.

Основное свойство проецирующих плоскостей: все фигуры, расположенные в проецирующей плоскости, на ту плоскость проекций, которой перпендикулярная проецир. пл., проеци­руются в линию на след проецирующей плоскости.

Плоскости уровня.

Плоскостями уровня наз. плоскости, параллельные одной из плоскостей проекций

(рис. 29).

Рис. 29

Плоскость (λ), параллельная пл. П₁, наз. горизонтальнойплоскостью уровня (λ₂ ║ х₁₂).

Плоскость (μ), параллельная пл. П₂, наз. фронтальнойплоскостью уровня (μ₁ ║ х₁₂).

Плоскость (σ), параллельная пл. П₃, наз. п рофильнойплоскостью уровня (σ₂ ║ Z₂₃).

Основное свойство плоскостей уровня: все фигуры, расположенные в пл. уровня, на ту плоскость проекций, которой параллельна данная плоскость, проецируются без искажения, т.е. в натуральную величину.

5. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ.

Две плоскости в пространстве относительно друг друга могут быть параллельными или пересекающимися.

Плоскости параллельны.

Рис. 30

Если две плоскости в пространстве взаимно параллельны, то их одноименные следы должны быть параллельными (как линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей – плоскостью проекций) или две пересекающиеся прямых одной плоскости должны быть параллельны двум пересекающим­ся прямым другой плоскости (рис. 30).

Плоскости пересекаются.

Если две плоскости в пространстве пересекаются, то они имеют одну общею прямую, называемую линией пересечения. Задача на определение линии пересечения сводится к построению проекций двух точек, общих для обеих пло­скостей.

Пересечение плоскости общего положения с проецирующей.

Рис. 31

При пересечении плоскости общего положения (∆ABC) с проецирующей (например, с горизонтально-проецирующей α) одна из проекций (горизонтальная) линии пересечения совпадает со следом проецирующей плоскости (M₁N₁≡ α₁), а вторая (M₂N₂) находится построением на соответствующих элементах, задающих плоскость общего положения (рис. 31).

Пересечение двух плоскостей общего положения.

Линия пересечения двух плоскостей общего положения может определяться путем последовательного построения точек пересечения линий одной плоскости с другой и наоборот или же при помощи вспомогательных проецирующих плоскостей, называемых плоскостями-посредниками.

Способ плоскостей-посредников заключается в том, что обе задан­ные пересекающиеся плоскости(λ и β) пере­секаются вспомогательными (λ и μ); определяются линии пересечения каждой из вспомогательных плоско­стей с данными (1-2 и 3-4; 5-6 и 7-8), на пересечении которых и находятся точки (М и N) принадлежа­щие искомой линии пересеченияплоскостей (рис. 32)

Рис. 32

В качестве вспомогательных плоскостей-посредников ис­пользуются проецирующие или плоскости уровня.

На рис.33 показано определение линии пересечения плоскости (АВ х АС) с плоскостью (а // в) при помощи двух горизонтальных плоскостей-посредников (λ и μ).

Рис. 33

Относительное положение прямой и плоскости.

Прямая относительно плоскости в пространстве может занимать следующие положения: принадлежать плоскости, быть параллельной ей или пересекаться с плоскостью.

Прямая принадлежит плоскости.

Прямая принадлежит плоскости если две точки этой прямой принадлежат данной плоскости.

Прямая параллельная плоскости.

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой –либо прямой, принадлежащей этой плоскости.

Hапримеp: через точки D и E необходимо провести прямые параллельные заданной плоскости ∆ ABC.

Через (·) D проведена прямая а параллельная какой-то прямой 1-2, принадлежащей пл. ∆АВС (а // 1-2), См. рис. 34.

Через (·) Е проведена прямая в параллельная прямой АВ, принадлежащей пл. ∆ ABC (в // АВ). См.рис.34.

Рис. 34

Прямая пересекается с плоскостью.

Прямая, пересекающаяся с плоскостью, имеет с ней одну общую точку, называемую точкой встречи или пересечения.

Для определения точки встречи прямой (l) с заданной плоскостью (α)необходимо (рис. 35):

1/ Заключить данную прямую (l) во вспомогательную плоскость (β);

2/ Построить линию (МN) пересечения заданной Рис. 35

плоскости (α) со вспо­могательной (β);

3/ Найти искомую точку встречи (K) на пересечении заданной прямой (l) с построенной линией пере­сечения (MN).

В качестве вспомогательной, как правило, используется проецирующая плоскость.

Для определения точки пересечения l с пл. ∆АВС заключаем прямую во фронтально-проецирующую пл. β. При этом фр. след пл. βсовпадает с фр. проекцией прямой l (β₂≡ l₂). Определяем проекции линии пересече­ния (MN) плоскостей ∆ABC и β. На пересечении прямых l₁ и M₁N₁ находится (·)K₁ - горизонтальная проекция искомой точки пересечения, по кото­рой на l₂ находим (·) К₂-фр.проекциюискомой точки. См.рис.36.

Рис. 36

Например: Определить точку пересечения прямой l. с пл. (а//в)

Прямую l заключаем в гор. - проец. пл. β(β₁≡ l ₁). Определяем линию (MN) пересечения пл. (а // в) и β. На пересечении l ₂ и M₂N₂ находится (·) К₂-фр. проекция искомой точки, по которой строится (·)К₁ -гор. проекция искомой точки. См. рис 37.

Рис. 37

Определение видимости геометрических элементов на чертеже

Видимость отдельных элементов проецируемых фигур на плоскости проекций устанавливается с помощью точек, расположенных на одном проецирующем луче и называемых «конкурирующими».

Из двух «конкурирующих» точек видимой считается та,

которая расположена дальше от плоскости проекций.

См. рис. 38.

Для прямой АВ ┴ П₁, видимой на гор. проекции будет (·)A₁. По той же причине для прямой СD видимой на

Рис. 38 фр.проекции будет (·)С₂.

Например: Найти точку пересечения прямой l с пл.(АВСD) и определить видимость. Смотри рис. 39

Для определения точки пересече­ния К заключаем прямую l во фр. проецирующую пл. β.Видимость прямой l₁ на гор. проек­ции определяем с помощью «кон­курирующих» точек 3 и 4 (3₁ ≡ 4₁).

С помощью фр.проекций этих то­чек (3₂ и 4₂) устанавливаем,

что (·)4, принадлежащая l рас-

положена выше (·)3, принадлежащей пл. Поэтому на гор. проекции отрезок прямой l₁ до (·)K₁ будет видимым.

Видимость отрезка l ₂ на фр.проекции устанавливается аналогично с помощью конкурирующих точек 1 и 5. (·)1, принадлежащая пл.(АВСD), расположена дальше от пл. П₂ чем (·)5, принадлежащая l. Поэтому на фр. проекции отрезок l₁ от (·)5₂ до (·) К₂ будет невидимым.

Рис 39