Лекция 4. Для выражения взаимной принадлежности точек и прямых проективной плоскости будем употреблять слова: «точка принадлежит прямой» или «прямая принадлежит точке»

Прежде чем сформулировать принцип двойственности на плоскости сделаем несколько замечаний.

Для выражения взаимной принадлежности точек и прямых проективной плоскости будем употреблять слова: «точка принадлежит прямой» или «прямая принадлежит точке». На проективной плоскости рассмотрим множество всех прямых - . На плоскости возьмем репер R и рассмотрим отображение

которое каждой точке M с координатами ставит в соответствие прямую M с теми же координатами. Это отображение биективно, то есть

1. из того что точки А и В различны следует, что их координаты не пропорциональны, поэтому соответствующие им прямые не совпадают.

2. из того что если прямая d с координатами в репере R , то точка D с теми же координатами переходит в прямую d.

Из биективности отображения следует биективность обратного отображения ; которое каждой прямой множества ставит в соответствие точки плоскости .

Кроме того, при отображениях сохраняется принадлежность точек и прямых, т.е. если , .

Используя это утверждение можно показать, что если три точки принадлежат одной прямой, то их образы в отображение принадлежат одному пучку.

Учитывая, что отображение биективно, то в отображение образом прямой является пучок прямых. Следует, что при отображении образом пучка будет прямая.

Теперь сформулируем принцип двойственности.

Если справедливо утверждение, касающиеся точек и прямых проективной плоскости и их взаимной принадлежности, то справедливо и так называемое двойственное утверждение, которое получается заменой в исходящем утверждение слова «точка» словом «прямая» и слова «прямая» словом «точка».

Обоснуем этот принцип для этого на проективной плоскости репер R и рассмотрим отображение . Пусть будет справедливо некоторое утверждение о принадлежности точек и прямых, оно относится к некоторому множеству F, состоящему из точек и прямых проективной плоскости. Рассмотрим образы всех точек из F в отображение и образы всех прямых этого множества отображений и обозначим через полученное таким образом множество точек и прямых. Утверждению может быть сопоставлено предложение о принадлежности точек и прямых, относящихся к множеству . Предложение получено заменой в предложение слова «точка» словом «прямая» и слова «прямая» словом «точка».

Слова выражающие отношение принадлежности, сохранены без изменения.

Итак, если справедливо предложение , то справедливо и предложение .

В трехмерном проективном пространстве имеет место принцип двойственности в пространстве. Он заключается в следующем: если справедливо предложение , касающиеся точек, прямых и плоскостей проективного пространства и их взаимной принадлежности, то справедливо и двойственное предложение , полученное заменой в слов «точка», «прямая», «плоскость» соответственно словами «плоскость», «прямая», «точка».

2. Определение. Трехвершинником называется фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой и 3 прямых, соединяющих полярно эти точки.

Теорема 1 (теорема Дезарга): Если прямые, проходящие через соответственные вершины пересекаются в одной точке, то точки пересечения соответствующих сторон лежат на одной прямой (рис.1).

Рис.1

Теорема 2 Если точки пересечения соответствующих сторон лежат на одной прямой, то прямые, проходящие через соответствующие вершины пресекаются в одной точке.

Теорема 2 не требует доказательства, т.к. ее справедливость непосредственно устанавливается по принципу двойственности на плоскости.

Фигура, состоящая из десяти точек и десяти прямых называется конфигурацией Дезарга.