Лекция 7. Говорят, что пара точек А и В гармонически разделяют пару точек С и D( или гармонически сопряжена с парой точек С и D)

На проективной прямой рассмотрим точки A, B, C и D.

Говорят, что пара точек А и В гармонически разделяют пару точек С и D(или гармонически сопряжена с парой точек С и D), если выполняется равенство

Определение: Полным четырехвершинником называют фигуру, состоящую из 4 точек проективной плоскости, при том 3 любые точки не лежат на одной прямой и 6 прямых соединяющих эти точки.

Эти точки называются вершинами, а прямые сторонами четырехвершинника.

На рис. 1 изображен полный четырехвершинник АВСD с вершинами в точках А, В, С и D и сторонами АВ, ВС, СD, DА, АС и ВD. Стороны, не имеющие общей вершины, называются противоположными. В четырехвершиннике АВСD противоположными являются стороны АВ и СD, ВС и DА, АС и ВD. Точки пересечения противоположных сторон называются диагональными точками, а прямые, попарно соединяющие диагональные точки,— диагоналями полного четырехвершинника. На рис. 1 Р, Q и R — диагональные точки, а РQ, QR и РR диагонали полного четырехвершинника АВСD.

Лемма. Диагональные точки полного четырехвершинника не лежат на одной прямой.

Рис.1 Рис. 2

ТЕОРЕМА:

На каждой диагонали полного четырехвершинника диагональные точки гармонически разделяют две точки пересечения этой диагонали со сторонами, проходящими через третью диагональ.

На проективной плоскости так же как и на евклидовой плоскости можно решать задачи на построение.

Основными фигурами на проективной плоскости является точки и прямые.

Постулаты построения на проективной плоскости:

1. Построение прямой проходящей через пространственные точки.

2. Построение точки при пересечении 2-х построенных прямых.

Сформулируем задачу на построение на проективной плоскости: Дано конечное множество построенных точек, прямых и описано свойство характеризующее искомую точку или прямую. Требуется, используя постулаты построений, построить конечное множество точек и прямых, среди которых будут искомые.

Теории построения на проективной плоскости аналогична теории построения на евклидовой плоскости, только нужно учесть, что построения будут проводится только линейкой так, как в проективной плоскости нет понятия «окружность».

Рассмотрим пример задачи на построение.

З а д а ч а. На проективной прямой d даны три точки Р, Q и М. Построить точку Х так, чтобы она была четвертой гармонической к точкам Р, Q и М.

Решение. Для решения задачи воспользуемся теоремой о полном четырехвершиннике. Построим полный четырехвершинник АВСD так, чтобы точки Ри Q были диагональными точками, а М - точкой пересечения прямой РQ со стороной проходящей через третью диагональную точку R (рис. 2). Тогда сторона ВD пересечет Прямую РQ в искомой точке Х.

Из этого анализа вытекает следующий способ построения искомой точки. Пусть Р, Q и М данные точки на прямой d (рис. 2). Через точку Р проведем какую-нибудь прямую, не совпадающую с прямой d, и возьмем на этой прямой две точки А и В. Построим прямые QА, QВ, МА и обозначим через С точку пересечения прямых МА и QВ. Построим затем прямую PC и обозначим через D точку пересечении этой прямой с прямой AQ (на рис. 2 прямые, которые мы строим, обозначены цифрами, причем цифры соответствуют той последовательности, в которой проводятся прямые). Построив, наконец, прямую ВD, получаем искомую точку Х как точку пересечения прямых ВD и d.

Задача решена правильно, так как АВСD полный четырехвершинник с диагональными точками Р, Q и R, где R — точка пересечения прямых АС и ВD. По теореме (РQ, МХ)=- 1