Расширенная постановка задачи с заданными ассортиментом выпуска продукции

Предположим, что полученное решение не устраивает с той точки зрения, что не производится 2-й вид продукции. Допустим, что на выпуск этой продукции был принят заказ, невыполнение которого повлечет за собой штрафные санкции. В соответствии с заказом выпуск продукции второго вида должен составить не менее 20 единиц. Кроме того, выпуск рентабельной продукции первого вида должен быть не менее 10. Таким образом к системе ограничений исходной задачи добавятся два ограничения по ассортименту выпуска в соответствии с (2.12).

Эти ограничения вносятся в зарезервированные строки 5 и 6 ввода исходной информации (рис.9). В двойственной задаче (2.17-2.18) изменяется первое и второе ограничения и целевая функция

.

Рис.9. Окно решений задачи с заданными ассортиментом выпуска продукции

Во второй таблице окна решений (рис.9) означают превышение выпуска над заказом. Так как оптимальный выпуск х₂=20, то нет превышения над заказом и =0; х₁=54,2857, т.е. выпуск продукции превышен 44,2857 (). Величина является оценкой ''навязывания'' выпуска продукции. У нерентабельной продукции, где нет превышения над планом ( =0), она, как правило, отрицательна. У рентабельной продукции при наличии ресурсов возможно перевыполнение плана, т.е. для них (сравните данную ситуацию и связь s_i и y_i).

Если обратиться к свойствам двойственных оценок, то при внесении изменений по плану добавится следующее:

1. Дефицитность можно понимать, как отсутствие возможности (и необходимости) выпускать продукцию сверх заказа ( = ).

2. Влияние на значение целевой функции увеличения плана на единицу соответствует величина оценки .

В нашем случае с выпуском каждой единицы нерентабельной продукции №2 потеря выручки составит Δz= т.е. по сравнению с первоначальным z_max.

Z_max=630,95-22,858=608,0944.

3. Если эффективность выпуска продукции, не связанной с плановым заданием, определялась величинами , то будет показывать потери при перевыполнении плана. Если прежде характеризовало возможные потери при выпуске единицы второй продукции, то теперь , а потери из потенциальных превратились в реальные. Потерь при выпуске первой продукции нет ни реальных (), ни потенциальных ().

4. Поскольку значения целевых функций на оптимальных планах совпадают, можно выписать .

Из этого равенства видно, что включение в план рентабельной продукции (с ) не изменит выручки, а ''навязывание'' выпуска убыточной продукции (с ) приводит к снижению w, а следовательно, и z, т.е. выручки от реализации. Таким образом, в зависимости от конкретной ситуации можно закладывать новые требования в задачу, анализировать полученное решение и принимать определенную управленческую стратегию.

Задача реализации излишка недефицитного ресурса

Из оптимального решения задачи следует, что после производства оптимального выпуска продукции х₁^*=42,8571 и х₅^*=59,5238 остаются излишки второго и четвертого ресурсов в количествах 288,0952 и 133,3333 единиц соответственно.

Реализуем излишек второго ресурса, которого осталось в большем количестве, в объеме х₆ по цене 8 усл.ден.ед. и на полученную выручку 8х₆ приобретем дефицитный ресурс третьего вида по цене 4 усл.ден.ед. в количестве Тогда второе и третье ограничения по ресурсам исходной задачи в соответствии с (2.13) и (2.14) примут вид

5х₁+х₂+х₃+х₄+5х₅+х₆ ;

4х₁+2х₂+3х₃+4х₄+3х₅ или

4х₁+2х₂+3х₃+4х₄+3х₅-2х₆ .

Решив задачу с измененными условиями (коэффициенты при х₆ вносим в зарезервированный 6-й столбец), получим оптимальное решение х^*=(82,6087;0;158,6956;0;0;228,26), z_max=889,13 (рис.10).

Рис.10. Окно решений задачи с реализацией излишка ресурса

Структура выпуска продукции изменилась, рентабельной стала первая и третья продукция. Доход от реализации увеличился до 889,1304. Полностью израсходованными при этом оказались первый, второй и третий ресурсы. Остался излишек четвертого ресурса в количестве 93,4782. Аналогичные рассуждения можно было проводить сразу относительно двух недефицитных ресурсов (вводить два резервных столбца) и приобретать оба дефицитных ресурса.

Замечания

1. В нашем примере решение исходной и двойственной задачи являются невырожденными, т.к. значение базисных переменных исходной и двойственной задачи отличны от нуля. В случае вырожденности оптимальных решений хотя бы в одной из задач, оба сопряженных условия выполняются как строгие равенства и свойства двойственных оценок могут не иметь смысла.

2. При проверке свойств двойственных оценок появляются незначительные расхождения с компьютерными распечатками из-за округлений.

3. Ассортимент выпуска продукции можно задавать по всем видам продукции или для произвольной, вводя дополнительные ограничения в систему и резервные строки для ввода информации в компьютер.

Задания и варианты к лабораторной работе

При известных нормах затрат ресурсов на производство единицы продукции, запасах ресурсов, ценах на продукцию определить план выпуска продукции, обеспечивающий получение максимальной выручки от реализации продукции, для этого:

1. Составить экономико-математическую модель задачи и двойственную к ней.

2. Решить задачу, используя пакет линейного программирования.

3. Проанализировать полученное решение, используя свойства двойственных оценок.

4. Определить границы устойчивости полученного решения.

5. Решить задачу и проанализировать решение при условиях изменения:

а) цен в границах устойчивости;

б) цен за границами устойчивости;

в) запасов ресурсов в границах устойчивости;

г) запасов ресурсов за границами устойчивости

6. Найти и проанализировать решение задачи при дополнительных условиях: выпуск одного из видов нерентабельной продукции должен быть не менее 15, а выпуск одного из видов рентабельной продукции должен оставаться на уровне не менее 10 единиц.

7. Найти и проанализировать решение задачи реализации недефицитного и приобретения дефицитного ресурса, при условии цен на ресурсы: цена единицы первого ресурса-5, второго-3, третьего-6, четвертого-8 (усл.ден.ед).