Критерий однородности Смирнова

Этот критерий предназначен для проверки гипотезы совпадения з.р.в. в двух или нескольких генеральных совокупностях по группированным выборкам, извлеченным из этих совокупностей. Пусть имеется l выборок объемов соответственно n₁ , n₂ ,…, n_l и пусть данные этих выборок сгруппированы. Мы имеем S одних и тех же интервалов группирования и пусть V_ij – количество элементов i-й выборки, попавших в j-й интервал (i=1,2,…,l; j=1,2,…,S). В качестве критической статистики критерия используется величина:

(1)

где - общее число элементов i-й выборки, - общее число выборочных данных, попавших в j-й интервал группирования и - суммарный объем выборочных данных.

Н.В. Смирновым было доказано, что при неограниченном росте объемов всех выборок и в условиях справедливости проверяемой гипотезы з.р.в. статистики (1) стремится к закону χ² с числом степеней свободы, равным (l-1)(S-1). Поэтому в соответствии с общей логикой статистического критерия: гипотеза отвергается, если или и применяется при всех остальных значения критической статистики g. В частности в случае двух выборок (l=2) статистика может быть записана в виде:

и при условии справедливости гипотезы однородности она будет приблизительно распределена (при больших объемах n₁и n₂) по закону χ ² с S-1 (l=2 (l-1)=1) степенью свободы.

Пример: В таблице приведены условные данные о з/п работников двух отраслей. В данном примере число сравниваемых генеральных совокупностей l=1 и объемы выборок n₁=n₂=100. Проверим (при уровне значимости критерия a=0,05) гипотезу о том, что распределения работников по з/п не отличаются друг от друга в двух анализируемых отраслях.

В данном случае статистика имеет вид:

Следовательно, гипотезу о совпадении вероятностных распределений работников по з/п в двух анализируемых отраслях мы должны отвергнуть > . Вероятность ошибиться при этом равна 0,05.