Пример 3.2

Найти

При ограничениях

Решение. Так как в данном случае квадратичная форма f(x₁, x₂) вогнута, а ограничения линейны, то имеет место задача квадратичного программирования.

Составим функцию Лагранжа:

Применив теорему Куна – Таккера получим следующие условия для нахождения оптимального решения:

Последние четыре равенства представляют собой дополнительные условия нежесткости, то есть если первый сомножитель не равен 0, то должен быть равен 0 второй и наоборот. Так если в пятом равенстве х₁ не равно 0, то первое уравнение превращается в равенство и т.д. Таким образом, для нахождения оптимального решения необходимо перебрать все возможные варианты вида:

Выбирается вариант с максимальным значением f и неотрицательными значениями x и λ. В нашем примере оптимальное решение имеет вид: