Свойства матричных игр

1. Седловая точка в матричных играх существует не Она существует тогда и только тогда, когда

(18)

Поэтому принципы оптимальности в матричных играх называются принципом минимакса (или максимина).

2. Значение игры, если оно существует, является наименьшим числом в своей строчке и наибольшим в своем столбике.

3. Оптимальные стратегии не изменятся, если ко всем элементам матрицы (1) прибавить или отнять одно и то же число или умножить все элементы матрицы на одно и то же положительное число.

4. Игра (1) может иметь несколько седловых точек. Если (i*,j*), () - седловые точки, то (i*, ) и (,j*) - тоже седловые точки (взаимозаменяемость) и a_i*j*= = = (эквивалентность).

5. Если игра (1) не имеет оптимальных чистых стратегий, то вводят смешанные стратегии:

x=(x₁,…,x_m): 0≤x_i≤1, i=1,…,m; x₁+…+x_n=1 и

=(y₁,…,y_n): 0≤y_j≤1, j=1,…,n; y₁+…+y_n=1;

х - смешанная стратегия 1 игрока; у - смешанная стратегия II игрока. Таких стратегий у игроков бесконечное множество.

6. В любой матричной игре существуют оптимальные смешанные стратегии x*,y*:

(19)

для любых стратегий х, у. Значением игры в смешанных стратегиях называется число

Решить игру (1) это значит найти пару оптимальных стратегий (чистых или смешанных) и значение игры.