Тема 7. Корреляционный метод анализа. Многомерный статистический анализ

Понятие о статистической и корреляционной связи. Условия применения и ограничения корреляционно-регрессионного метода. Вычисление и интерпретация параметров парной линейной регрессии. Статистическая оценка надежности параметров парной регрессии и корреляции.

Частная и множественная регрессия. Уравнение множественной регрессии. Меры тесноты связей в многофакторной системе. Вероятностные оценки параметров множественной регрессии и корреляции. Корреляционно-регрессионные модели и их применение в анализе и прогнозе.

Упражнение 7.1. Дайте определения следующих понятий:

Факторный признак – _____________________________________________________________

________________________________________________________________________________

Результативный признак – _____________________________________________________________

________________________________________________________________________________

Функциональная связь – _____________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

Схоластическая зависимость – __________________________________________________________

________________________________________________________________________________

Корреляционная связь – _____________________________________________________________

________________________________________________________________________________

Парная корреляция – _______________________________________________________________

________________________________________________________________________________

Множественная корреляция – __________________________________________________________

________________________________________________________________________________

Регрессия – ______________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

Упражнение 7.2. Имеются экспериментальные данные исследования влияния времени вулканизации на сопротивление резины разрыву (табл. 7.4)

Таблица 7.4

№ анализа	Время вулканизации (мин.), х	Сопротивление разрыву, кг/см2	№ анализа	Время вулканизации (мин.), х	Сопротивление разрыву, кг/см2

Провести на основе приведенных данных исследование взаимосвязи сопротивления резины разрыву и времени ее вулканизации; аналитическое выражение связи проверить на достоверность.

Решение

Результативный признак – ______________________________________________________

Факторный признак – __________________________________________________________

1. Первичную информацию проверим на однородность по признаку-фактору с помощью коэффициента вариации по формуле:

Найдем среднее значение признака:

Заполним вспомогательную таблицу (табл. 7.5)

Таблица 7.5

№ анализа	Время вулканизации (мин.), х		ar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">
Итого:

Определим среднее квадратическое отклонение:

Найдем показатель вариации:

Вывод ______________________________________________________________________________

2. Проверим первичную информацию на нормальность распределения с помощью правила «трех сигм» (табл. 7.6)

Таблица 7.6

Интервалы значений признака, х, мин.	Число единиц, входящих в интервал	Удельный вес числа единиц, входящих в интервал, в общем их числе, %	Удельный вес числа единиц, входящих в интервал, при нормальном распределении, %
			68,3 95,4 99,7

Вывод ______________________________________________________________________________

3. Исключим из массива первичной информации резко выделяющиеся единицы по уровню признаков-факторов

Вывод ______________________________________________________________________________

4. Установим факт наличия и направления корреляционной зависимости между результативным и факторным признаками. Для этого проведем группировку по признаку-фактору (табл. 7.7)

Найдем число групп по формуле Стерджесса:

Определим величину интервала группировки:

Таблица 7.7

Зависимость сопротивления резины разрыву от времени вулканизации

Время вулканизации (мин.), х	№ анализа	Число анализов, n	Сопротивление разрыву, кг/см2		Средняя величина сопротивления разрыву, кг/см2
Итого

Вывод ______________________________________________________________________________

Построим график связи (рис. 7.2)

Рисунок 7.2 Зависимость сопротивления резины разрыву

от времени вулканизации

Вывод ______________________________________________________________________________

5. Для измерения тесноты связи используем линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

Заполним вспомогательную таблицу (табл. 7.8)

Таблица 7.8

Вспомогательная таблица для расчета линейного коэффициента корреляции и уравнения связи

№ анализа	Время вулканизации (мин.), х	Сопротивление разрыву, кг/см2, у	х2	у2	ху
Итого

Рассчитаем линейный коэффициент корреляции:

Вывод ______________________________________________________________________________

Найдем среднюю квадратическую ошибку коэффициента корреляции:

По таблице определим t- критерий Стьюдента при Р=0,95 и к=_______.

t_табл = ______

Вывод ______________________________________________________________________________

6. Определим модель связи. График линии средних показывает наличие ________________

__________________________________________________________________________________

Поэтому используется линейная функция вида:

Определим коэффициенты уравнения связи:

Модель связи следующая:

Возможность использования линейной функции оценим на основе , которая сравнивается с F – критерием.

Для расчета ,исчислим корреляционное отношение, используя данные таблицы 7.7

Вывод ______________________________________________________________________________

При вероятности Р = 0,95, k₁ = m -2 = ____________ и k₂ = n - m = __________ F_табл =____

Вывод ____________________________________________________________________________

Средняя квадратическая ошибка уравнения:

=

Вывод ______________________________________________________________________________

Упражнение 7.3 По группе предприятий за отчетный год имеются следующие данные (табл. 7.9)

Таблица 7.9

№ предприятия	Годовая производительность труда работника, тыс. руб.	Вооруженность труда основным капиталом, тыс. руб./чел.	Удельный вес оборудования в стоимости основного капитала	Текучесть кадров, %	Интегральный показатель использования рабочего времени
		15,2 12,8 13,8 14,0 16,3 12,6 13,2 12,9 13,1 12,5 15,7 13,5	0,39 0,29 0,34 0,36 0,46 0,28 0,32 0,29 0,33 0,28 0,40 0,34	9,1 10,1 5,0 7,0 9,0 4,0 12,0 6,5 8,0 7,0 8,5 5,0	0,96 0,80 0,84 0,86 0,98 0,83 0,87 0,84 0,81 0,85 0,97 0,83

На основании приведенных данных требуется:

1) составить уравнение множественной зависимости производительности труда, обосновав систему факторов, включенных в модель;

2) определить совокупный коэффициент корреляции и частные коэффициенты корреляции;

3) сопоставить роль различных факторов в формировании моделируемого показателя.

Решение

Результативный показатель: у – ________________________________________________

Признаки-факторы:

х₁ - ________________________________________________________________________

х₂ - ________________________________________________________________________

х₃ - ________________________________________________________________________

х₄ - ________________________________________________________________________

Для определения возможности включения факторов в модель строим в программе MS Excel матрицу парных коэффициентов корреляции. Результаты перенести в таблицу 7.10.

Таблица 7.10

	у	х1	х2	х3	х4
у
х1
х2
х3
х4

Выводы:

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Проверим возможность включения в модель факторов попарно на основе следующего критерия: связь факторов между собой должна быть слабее, чем с результативным признаком.

Выводы:

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Система нормальных уравнений для нахождения параметров уравнения связи следующая:

Решение системы уравнений дает следующие значения параметров:

Модель зависимости производительности труда от факторов имеет следующий вид:

Определим ошибку модели связи. Для этого заполним вспомогательную таблицу 7.11

Таблица 7.11

№ предприятия	Годовая производительность труда работника, тыс. руб. у	Теоретический уровень годовой производительности труда работника по уравнению связи (тыс. руб.),
Итого

Средняя квадратическая ошибка уравнения:

=

Вывод:

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Определим совокупный коэффициент корреляции по формуле:

R=

R=

Вывод:

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Рассчитаем частные коэффициенты корреляции

Вывод:

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Для сравнения роли отдельных факторов в формировании показателя производительности труда определим коэффициенты эластичности:

Вывод:

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________