Прямоугольная проекция окружности

- Круг, плоскость которого параллельна какой-либо плоскости проекций, проецируется на эту плоскость без искажения.

На рис.49 круг взят в горизонтальной плоскости. На плоскость П₁ проецируется без искажения, на пл. П₂ и пл. П₃ в виде отрезков прямых, равных диаметру окружности d, т.е. А₂С₂=d и В₃D₃= d.

- Круг, плоскость которого перпендикулярна к одной из плоскостей проекций, проецируется на эту плоскость в виде отрезка прямой, равного диаметру круга. На другие плоскости проекцией круга будет эллипс.

На рис.50 круг взят во фронтально-проецирующей плоскости. На пл. П₂ круг проецируется в виде отрезка прямой А₂С₂=d, на пл. П₁ в виде эллипса, большая ось которого В₁D₁=d, малая ось А₁С₁=d ´ cos j₁, на пл. П₃ в виде эллипса, большая ось которого В₃D₃=d, малая ось

А₃С₃ = d ´ cos j_{3 .}

	Рис.49		Рис.50

Эллипс является кривой второго порядка.

Каждую точку окружности можно преобразовать

в точку эллипса, соблюдая одно и тоже

отношение (рис.51), так

МК₁: МК = b: a, где

a – большая полуось эллипса,

b – малая полуось эллипса,

отношение b: a – коэффициент сжатия эллипса,

т.К₁ – точка, принадлежащая эллипсу.

Рис. 51

Таким образом, окружность как бы равномерно

сжимается; линия в которую при этом

преобразуется окружность, является эллипсом. Если b приближается к a, то эллипс расширяется и при b=a превращается в окружность.

Рис.52

Построение эллипса по его осям. Построение выполняется при помощи двух концентрических окружностей, проведённых радиусами a и b. Проведя какой-либо радиус ОМ₁ и прямые М₁М₀ (параллельно малой оси) и ЕМ (параллельно большой оси), получим в пересечении этих прямых точку М, принадлежащую эллипсу. Повторяя указанное построение, получаем ряд точек эллипса (рис.52).

Пример 9. Построить в плоскости общего положения a(h´f) окружность с центром в т.О и радиусом R=20мм; т.ОÎa(h´f) (Рис.53).

Решение: Так как окружность находится в плоскости общего положения, то её проекцией на плоскости П₁ и П₂ будет эллипс.

1) Проведём в плоскости a(h´f) через т.О горизонталь h₁(h₁₁,h₁₂) и фронталь f₁(f₁₁,f₁₂); h₁Õh, f₁Õf т.к. h₁ и f₁ Î плоскости a(h´f). На пл. П₁ большая ось эллипса лежит на h₁₁ –Е₁F₁=d_окр.=40мм. На пл. П₂ большая ось эллипса лежит на f₁₂ –А₂В₂=d_окр.=40мм.

Рис.53

2) Проведём через т.О прямые m₁ÖE₁F₁ и n₂ ÖА₂В₂, на которых лежат малые оси эллипса. Точки А(А₁,А₂), В(В₁В₂), Е(Е₁Е₂), F(F₁,F₂) принадлежат эллипсу. Используя обратное построение представ-ленное на рис. 52, определим величину малых осей эллипса:

- 4₁А₁Õm₁, А₁G₁^*ÕЕ₁F₁, G₁O₁ - малая полуось эллипса, G₁H₁ –малая ось эллипса;

- 3₂Е₂Õn₂, Е₂С₂^*ÕА₂В₂, С₂О₂ - малая полуось эллипса, С₂D₂ – малая ось эллипса.

Варианты задания

Варианты с 1-50 приведены в таблице №2.

Построить фронтальную и горизонтальную проекции конуса вращения по заданным условиям:

a - плоскость основания конуса (общего положения);

r – радиус окружности основания конуса;

Н - высота конуса, принять Н= 3r;

т. О – центр окружности основания конуса;

n – ось конуса (прямая общего положения);

Образец выполнения задания приведён на рис.54.

Контрольные вопросы

1. Дайте формулировку теоремы о проецировании прямого угла.

2. Каковы условия перпендикулярности прямой и плоскости на комплексном чертеже?

3. Как определить направление и величину осей эллипса, который является проекцией окружности?

4. Как определить расстояние от точки до плоскости (без преобразования чертежа)?

5. Какие существуют способы преобразования комплексного чертежа и как их применить для решения следующих задач:

а) определение натуральной величины отрезка;

б) преобразование прямой общего положения в проецирующую;

в) преобразование плоскости общего положения в проецирующую;

г) определение натуральной величины плоской фигуры.