ЗАДАНИЕ №1

РАСЧЁТНО-ГРАФИЧЕСКИЕ РАБОТЫ

ЗАДАНИЕ №1

Указания по выполнению задания

1. Задание выполняется на листе формата А3 (297х420).

2. Для выполнения задания необходимо изучить следующие разделы курса:

а) взаимное расположение прямой и плоскости;

б) основные позиционные задачи;

в) многогранники;

г) аксонометрию.

3. Построение сечения многогранника выполняется на комплексном чертеже в двух проекциях. На чертеже должны быть проставлены обозначения, отражающие ход решения задачи. Видимое на проекции сечение многогранника штрихуется в соответствии с ГОСТом 2.306-68. При определении видимости фигуры на проекциях секущую плоскость во внимание не принимать.

4. Аксонометрическая проекция строится обычными методами, фигура сечения строится по координатам её вершин с указанием соответствующих вторичных проекций точек. Для построения аксонометрического изображения многогранника необходимо предварительно задать на комплексном чертеже натуральную систему осей координат Оxyz. Эту систему располагают так, чтобы многогранник в аксонометрии занимал наиболее выгодное положение, а сечение было видимым. Некоторые из возможных вариантов расположения координатных осей системы Оxyz показаны на рис.3.

5. Часть многогранника, находящегося перед секущей плоскостью, на комплексном и аксонометрическом чертежах показывать штрихпунктирной утолщённой линией, согласно ГОСТ 2.303-68.

Z₂ Z₂

Х₂

O₂=Y₂ O₂=X₂ Y₂

O₁=Z₁ O₁=Z₁ Y₁

X₁

Y₁ X₁

Рис. 3

Теоретические сведения

1. Позиционные задачи. Позиционными задачами называются задачи на определение взаимного положения геометрических фигур. К ним относятся, например, задачи на взаимопринадлежность и задачи на пересечение.

а) Взаимное положение прямой линии и плоскости в пространстве может быть следующим:

- прямая лежит в плоскости;

- прямая пересекает плоскость;

- прямая параллельна плоскости.

Для определения взаимного положения прямой и плоскости прибегают к некоторым вспомогательным построениям:

- через данную прямую (m) проводят некоторую вспомогательную плоскость (a);

- строят прямую (MN) пересечения данной плоскости (b) и вспомогательной (a);

При этом возможны три случая:

1) если прямая m совпадает с прямой MN, то прямая m

принадлежит плоскости b.

2) если прямая m пересекает прямую MN, то прямая m пересекает плоскость b (рис. 4).

3) если прямая m параллельна прямой MN, то прямая m параллельна плоскости b.

б) Пересечение прямой линии с плоскостью общего положения – первая позиционная задача.

Для построения точки пересечения прямой с плоскостью общего

положения прибегают к таким же вспомогательным построениям, что и при определении взаимного расположения прямой и плоскости.

Пример 1 (рис. 5).

Дано: плоскость b(АВС), прямая а.

Определить: точку К пересечения прямой а

с плоскостью b(АВС); т. К = b(АВС) ´ а.

Решение:1)проведём через прямую а

фронтально-проецирующую плоскость a.

2) b₂(А₂В₂С₂) ´ a₂ = 1₂2₂. 1₁ÎА₁В_1, 2₁ÎС₁В_1, тем

самым определена прямая 12, по которой

вспомогательная плоскость a пересекает заданную

плоскость b(АВС).

3) Определим горизонтальную проекцию точки К:

К₁ = а₁ ´ 1₁2₁; К₂Îа_2.

Рис. 5

4)По конкурирующим точкам 1 и 3 определяем

видимость прямой а на П_1, по точкам 4 и 5

видимость прямой а на П₂.

в) Пересечение двух плоскостей общего положения – вторая позиционная задача.

Для построения линии пересечения двух плоскостей надо найти какие-либо две точки, каждая из которых принадлежит обеим плоскостям; эти точки определяют линию пересечения плоскостей.

Пример 2 (рис. 6).

Дано: плоскость

a(a´b); плоскость

b(cÕd).

Построить:линию пересече-

ния плоскостей a и

b - К₁К₂ = a´b.

Решение:

1) Возьмём две вспомогательные

фронтально-прое-

цирующие плос-

кости g_{1 и} g₂,

пересекающие

Рис.6

каждую из плос-

костей a и b.

2) g₁₂ ´ a₂ = 1₂2_{2 ;} определяем горизонтальную проекцию прямой 1₁2₁;

g₁₂ ´ b₂ = 3₂4₂; определяем горизонтальную проекцию прямой 3₁4₁.

Эти прямые, расположенные в пл. g₁, в своём пересечении определяют первую точку К₁₁ = 1₁2₁ ´ 3₁4₁, линии пересечения плоскостей a и b.

3 ) g₂₂ ´ a₂ = 5₂6₂; Þ 5₁6₁;

g₂₂ ´ b₂ = 7₂8₂; Þ 7₁8₁;

К₂₁ = 5₁6₁ ´ 7₁8_{1 .}

4)Проекции К₁₂ и К₂₂ определяем на проекциях g₁₂ и g₂₂. Этим определяются проекции К₁₁ К₂₁ и К₁₂ К₂₂ искомой прямой пересечения плоскостей a и b.

2. Аксонометрия.

Способ аксонометрического проецирования состоит в том, что данная фигура вместе с осями прямоугольных координат, к которым эта сис-

тема точек отнесена в пространстве, параллельно проецируется на некоторую плоскость, поэтому аксонометрическая проекция есть проекция только на одной плоскости.

На рис.7 показана схема

проецирования точки А на плоскость

аксонометрических проекций a.

Здесь Ox, Oy, Oz оси координат в

пространстве, прямые O_ax, O_ay, O_az –

их проекции на пл. a, называемые

аксонометрическими осями.

Отношения между аксонометри-

ческими проекциями отрезков и

самими отрезками называются

коэффициентами (или показателя-

Рис.7

ми) искажения вдоль соответствую-

щих осей.

Так,

k = l_x/l = O_aA_xa/OA_x - показатель искажения по оси х;

m = l_y/l = O_aA_ya/OA_y - показатель искажения по оси y;

n = l_z/l = O_aA_za/OA_z - показатель искажения по оси z.

Если все три коэффициента искажения равны между собой (k=m=n), то аксонометрическая проекция называется изометрической; если равны между собой только два коэффициента искажения, то проекция

называется диметрической; если три коэффициента не равны между собой, то проекция называется триметрической.

Если направление проецирования не перпендикулярно к пл. a, то аксонометрическая проекция называется косоугольной. В противном случае аксонометрическая проекция называется прямоугольной (или ортогональной).

Свойства прямоугольной аксонометрической проекции.

1. Треугольник следов XYZ, по которому

плоскость проекций пересекает координатные

плоскости натуральной системы, всегда

остроугольный.

2. Высоты треугольника следов совпадают

по направлению с аксонометрическими осями.

3. Сумма квадратов показателей искажения

Рис.8

равна 2: k² + m² + n² = 2.

На практике часто пользуются приведённой аксонометрией, т.е.

- в изометрической проекции коэффициенты искажения k=m=n=1;

- в диметрической проекции коэффициенты искажения k=n=1, m=0,5.

Пример 3. Построить

приведённую ортогональ-

ную изометрию точки А, за-

данной комплексным чер-

тежом. (рис. 9).

Решение:

1) Строим аксонометри-

ческие оси с углами 120⁰.

2)Измеряем на комплекс-

Рис.9

ном чертеже натуральные

координаты точки X_A, Y_A, Z_A.

3)Откладываем измеренные отрезки на соответствующих аксонометрических осях. Точка А_a^’ - вторичная проекция точки А на плоскость П₁ (можно построить еще две вторичные проекции); точка А_a - аксонометрическая проекция точки А.

Позиционные задачи на аксонометрическом чертеже решаются так же, как и на комплексном.

Варианты задания

Варианты 1-50 к заданию №1 приведены на рис. 10-34.

В задании №1 необходимо:

- на комплексном чертеже построить сечение многогранника плоскостью γ;

- в ортогональной аксонометрии (приведенной изометрии, диметрии или кабинетной проекции) построить по исходным данным комплексного чертежа фигуры изображение многогранника, выделив при этом усеченную плоскостью γ часть многогранника.

Образец выполнения задания №1 приведен на рис. 35.

Контрольные вопросы

1. Какие задачи называются позиционными и как решаются две основные позиционные задачи?

2. Как определяется видимость точек и прямых на комплексном чертеже?

3. Как построить точки пересечения прямой с многогранником?

4. Изложите сущность «способа рёбер» и «способа граней», применяемых при построении линии пересечения двух многогранников.

5. В чем состоит сущность метода аксонометрии?

6. Что называют аксонометрическими осями? Аксонометрическими масштабами? Показателями искажения?

7. Какие существуют виды аксонометрических проекций?

8. Каким условиям должны удовлетворять показатели искажения в ортогональной аксонометрии?

9. Какие показатели искажения называют приведенными? Как подсчитывается коэффициент приведения?

10. Как строятся аксонометрические оси в ортогональной изометрии, диметрии, кабинетной проекции и чему равны показатели искажения по осям?