Минимума дифференцируемой функции

Из курса математического анализа известны следующие условия минимума функции n переменных.

1. Если в точке х ⁰ Î E _n функция f (x) дифференцируема и достига­ет локальногоминимума, то

f ¢(х ⁰) = 0 или , j = 1,…, n (3.12)

(необходимое условие минимумa). Точки, в которых выполнено усло­вие (3.12), называются стaционaрными точкaми дифференцируемой функции f (x).

2. Если в стационарной точке х ⁰ Î E _n, функция f (x) дважды дифференцируема и матрица ее вторых производных f ¢¢(х ⁰) положительно определена, то х ⁰ есть точка локального минимума f (x) (достаточное условие минимумa).

Условия 1 и 2 лежат в основе классического метода минимизации функций, дифференцируемых во всем пространстве E _n. Приведем алгоритм этого метода.

Шаг 1. Решив систему уравнений (3.12), найти все стационарные точки функции f (x).

Шаг 2. Используя достаточные условия минимума, среди стаци­онарных точек функции f (x) найти точки локального минимума и, срав­нивая значения функции в них, определить точки глобального мини­мума.

Пример 3.1. Классический метод минимизации.

Решить задачу f (x) = x² ₁ + x² ₂ + x² ₃ +x₁ - x₃ – x₂x₃ ® min.

Шаг 1. Запишем систему (3.12): ; ; . Решив ее, получим стационарную точку

Шаг 2. Находим гессиан f "(х ⁰) = .Так как, согласно критерию Сильвестра, эта матрица положительно определена, заключаем что х ⁰ является точкой минимума функции f (x).

Минимальное значение f ^*» f (х ⁰)= -19/12.

Замечание. Классический метод минимизации функций многих переменных имеет ограниченное практическое применение в основном из-за трудностей в аналитическом решении системы уравнений (3.12). Кроме того, на практике часто аналитическое за­дание функции неизвестно, а ее значения получают в результате измерений.