Основные понятия линейной алгебры

Будем рассматривать функции многих переменных f = f (x₁, …, x _n) как функции, заданные в точках х n -мерного евклидова пространства Е _n: f = f (х). Точки х Î Е _n представляют векторами-столбцами координат: x = (х ₁, .., х_n) ^T, где символ «Т» — знак транспонирования*.

Перечислим основные определения и из курса линейной алгебры, которые будут использованы в дальнейшем:

1. В пространстве Е _n определены следующие операции:

· сложение х + у = (x₁ + y₂, …, x _n + y _n)

· умножение на действительное число lх = (lx₁, …, lx _n) l Î R;

· скалярное произведение <х, у> = с известными свойствами.

2. Напомним определение длины (нормы) вектора х:

и расстояния между векторами x и у (точками пространства Е _n):

Для норм произвольных векторов х,у Î Е _n справедливо неравен­ство треугольника

. (3.1)

Скалярное произведение оценивается по модулю неравенством Коши- Буняковского

. (3.2)

3. Остановимся на основных понятиях, связанных с числовыми матрицами.

Матрица A = (а _{i j} ), i = 1,.., т; j= 1, …, n, представляет собой прямоугольный массив (таблицу) чисел, состоящий из т строк и п столбцов. Таким образом, вектор-столбец х является матрицей разме­ра n´ 1.

Матрица A ^T = (а _{i j} ), которая получается из матрицы A = (а _{i j} ), если поменять местами ее строки и столбцы, называется транспонирован­ной по отношению к матрице A.

Квадратная матрица A называется симметрической, если A ^T = A. Матрицы одинакового размера A = (а _{i j} ) и B = (а _{i j} ) можно склады­вать: A + В = (а _{i j} + b _{i j} ).

Результатом умножения матрицы A на число l, является матрица l A =(l а _{i j} ).

Произведением A х матрицы A = (а _{i j} ) размера m´ n на вектор-столбец х ´ E _m называется вектор-столбец b Î E _m, координаты котoрого вычисляют по формуле i =l,.., m, где — вектор коэффициентов i -й строки матрицы A.

Для матриц A = (а _{i j} ) и B = (b _{k l} ) соответственно размера m´ n и n´ r определено произведение AB = С =(c _{s t} ), где элемент c _{s t} матрицы С размера m´ r определяется равенством .

Можно показать, что (AB)^T = B ^T A ^T.

Если рассматривать n -мерные векторы-столбцы х и у как матрицы размера n´ 1, то формулу для их скалярного произведения можно получить по правилу умножения матриц х ^T и у:

. (3.3)

Заметим, что для х и у Î E _n произведение х×у^T задает квадратную матрицу:

. (3.4)

Если A — квадратная симметрическая матрица размера n´ n, то для любых векторов х и у Î E _n < A х,у >=< х, A у >, так как < A х,у >= (A х) ^T у = x^T A ^Ty = x^T A y =<х, A у >.

Каждой квадратной матрице размера n´ n можно поставить в соот­ветствие число — определитель матрицы A (обозначается det A или | A |), которое вычисляют по формуле

,

где алгебраическое дополнение A _{i j} элемента A _{i j} определяется соотношением A _{i j} = (-1)^i+j M _{i j} (минор — это определитель матрицы, полученной из матрицы A вычеркиванием 1-й строки и j- го столбца). Квадратная матрица A называется вырожденной, если ее определи­тель равен нулю, и невырожденной в противном случае.

Для каждой невырожденной матрицы A существует обратная матрица А ^-1 = (a _{i j} ) такая, что А ^{- 1} А = А А ^-1 = Е, где Е — единичная матрица (e _{i j} ):

Элементы обратной матрицы могут быть найдены по формуле

,

где А _{i j} — алгебраическое дополнение элемента a _{i j} матрицы А.

4. Пусть А = (a _{i j} ) — симметрическая матрица размера п ´ п. Тогда функция п переменных h₁,.., h _n, Q (h) = = < A h, h > называется квадратичной формой этих переменных, а матрица A — матрицей квадратичной формы.

Квадратичная форма Q (h) называется положительно определен­ной, если для всех h ¹ 0 имеет место неравенство Q (h) > 0.

Из курса линейной алгебры известен критерий Сильвестра по­ложительной определенности квадратичной формы: для того, чтобы квадратичная форма Q (h)=< A h,h> была положительно определен­ной, необходимо и достаточно, чтобы ее матрица A = (a _{i j} ) была поло­жительно определена, т.е. все ее угловые миноры были положитель­ными:

(3.5)

5. Ненулевой вектор x, для которого A x = lx, называется собст­венным вектором квадратной матрицы A, а число l — соответствую­щим ему собственным значением этой матрицы.

Собственные значения находят из характеристического уравнения det(A - l E) = 0. Если l _i — собственное значение матрицы А, то не­тривиальное решение однородной системы линейных уравнений (A-l_i E) x=0 дает соответствующий ему собственный вектор. Собст­венные значения симметрической положительно определенной матри­цы А положительны, и существует ортонормированный базис в Е _n из собственных векторов x₁,.., x _n матрицы А. В этом базисе матрица А имеет диагональный вид: на ее главной диагонали стоят собствен­ные значения l₁,..., l _n, а на остальных местах — нули.

6. Нормой матрицы А размера п ´ п называется число || А || = || А h||. Очевидно, что для произвольного вектора х Î Е _n выполняется неравенство

|| А x|| £ || А ||×||x||. (3.6)

Норма симметрической положительно определенной матрицы вдовлетворяет двойному неравенству

l £ || А || £ L, (3.7)

где l и L — ее наименьшее и наибольшее собственные значения.

Справедлива оценка