Розв'язок систем диференціальних рівнянь I-го порядку методом Ейлера

Завдання 6. Дослідити розвиток популяції "хижак-жертва", яка описується системою рівнянь: = k₁ * x + k₂ * x * y; де k₁ > 0; k₂ < 0

= k₃ * y + k₄ * y * x; де k₃ < 0; k₄ > 0

початкові умови x = x₀ = 80; y = y₀ =30.

1) Дослідити модель, знайшовши залежності кількості зайців x та вовків y з часом, а також залежність кількості зайців від кількості вовків (фазову траєкторію). При цьому обрахунки провести з різними початковими значеннями.

2) Перевірити, що стаціонарною точкою буде X_S = ; Y_S= .

3) Перевірити, як залежить розв'язок від кроку диференціювання h.

Завдання 7. Прискорення матеріальної точки змінюється по закону a=At²_i-B_j, А=3м/c⁴; B=3м/c². На якій відстані від початку координат буде знаходитись матеріальна точка 2 в момент часу t=1c, якщо в початковий момент часу вона знаходилась в початку координат і з нульовою початковою швидкістю?

Аналітична відповідь: 1,52м.

Завдання 8. Матеріальна точка рухається в площині XOY із швидкістю V=Ay_i-Bx_j, де А,В(А>B)-додатні константи. Визначити вигляд траєкторії матеріальної точки, якщо в початковий момент часу вона знаходилась в точці з координатами x(0)=x₀>0, y(0)=0.

Аналітична відповідь: ; еліпс з півосями, рівними x₀ і .

Завдання 9. Дві матеріальніточки рухаються в одній і тій же системі відліку вздовж вісі х таким чином, що координата першої точки змінюється за законом , а другий за законом . В який момент часу швидкості цих точок будуть однаковими?

Аналітична відповідь: 1,5c.

Завдання 10. Вектор швидкості матеріальної точки, що рухається, змінюється з часом по закону V=Ai-Bij, де А=3м/c, B=9м/c². Знайти вираз для вектора прискорення і модуль вектора прискорення в момент часу t=5c.

Аналітична відповідь: a=-9j(м/c²); 9м/c².

Завдання 11. Знайти залежність від часу кута a між векторами швидкості і прискорення та його значення в момент часу t=2c, якщо закон зміни радіус-вектора матеріальної точки r=At²i+Btj, де А=2,5м/c², В=10м/c.

Аналітична відповідь: .

Завдання 12. Тіло масою 2кг рухається із швидкістю V=5ti+3t²j(м/c). Знайти результуючу всіх зовнішніх сил, діючих на тіло.

Вказівка: Закон зміни імпульсу: , імпульс системи тіл дорівнює векторній сумі імпульсів всіх тіл, що входять в систему, .

Аналітична відповідь: F=(10i+12tj) (Н).

Завдання 13. Момент імпульсу тіла відносно точки 0 змінюється з часом за законом L=2t²i+t³j+4k (кг м²/c²). Знайти результуючий момент зовнішніх сил, діючих на тіло.

Вказівка: Згідно закону зміни імпульсу: .

Аналітична відповідь: M=(4ti+3t²j) (H/м).

Завдання 14. Диск радіусом r=10см і масою 0,5 кг обертається навколо вісі, що проходить через його центр мас, перпендикулярно до площини диска. Кутове переміщення j при цьому змінюється за законом (рад). Знайти результуючий момент зовнішніх сил, що діють на диск в момент часу t=5c.

Вказівка: Основний закон динаміки обертального руху: , де j – момент інерції твердого тіла, b - кутове прискорення. . Момент інерції диску відносно вісі, що проходить через його центр мас рівний: .

Аналітична відповідь: 7,8*10^-2 H/м.

Завдання 15. На матеріальну точку діє сила, величина якої змінюється з часом по закону F=A(1-t) H. Знайти швидкість зміни сили.

Вказівка: Згідно закону зміни імпульсу тіла, якщо F÷÷V, то .

Аналітична відповідь: Н/c.

Завдання 16. Зовнішня періодична сила виконує роботу по переміщенню матеріальної точки, рівну А=-1,5cos(2pt)(Дж). Знайти миттєву потужність, створену цією силою в момент часу t=0,125 c.

Вказівка: Миттєва потужність визначається за формулою: .

Аналітична відповідь: 3,93 Вт.

Завдання 17. Знайти силу струму в провіднику, якщо заряд, що проходить через поперечний переріз провідника, що змінюється за законом q=At+e^-kt(Кл).

Вказівка: .

Аналітична відповідь: i=A-ke^-kt.

Завдання 18.: Людина ходить на роботу пішки по одному і тому ж маршруту, при цьому час, що затрачений нею на дорогу, рівний 30 5хв. Знайти середню швидкість його руху (в км/ч) та абсолютну похибку при визначенні швидкості, вважаючи пройдений нею шлях точно відомим і рівним 3 км.

Аналітична відповідь: V=(6 1) км/ч.