Метод Монте-Карло розв’язку еліптичних диференціальних задач

Розв’язуємо задачу Діріхле:

, 0<x<1, 0<y<1, (7.33)

Граничні умови .

1- в граничних точках P₁- P₃ ,

0- в граничних точках P₄- P₁₂(див рис.7.7).

1. Виконаємо деяке число випадкових блукань, які починаються в точці А, і закінчуються у одній із граничних точок. Фіксуємо, скільки раз блукання закінчуються в кожній граничній точці. При цьому імовірність переходу в сусідні вузли однакова для всіх сусідів і в сумі рівна 1.

2. Після того, як всі блукання завершені, для кожної граничної точки обчислюємо відносну кількість блукань, що завершуються в цій точці. Позначимо ці величини .

Обчислюємо приблизний розв’язок U(A) за формулою: , (7.34)

де g_i-значення функції у точці p_i.

Якщо блукання починаються із точки А (див. рис 7.7.), то зрозуміло, що , що співпадає з розв’язком задачі Діріхле методом Лібмана, тобто з рівнянням (7.26).

Рис.7.7.