Сплайн-інтерполяція з згладжуванням

Нехай потрібно апроксимувати функцію на проміжку a=x₀< x₁<…< x_n=b, якщо значення функції в вузлах знайдені з певною похибкою, або спотворені невідомою функцією. Тоді немає сенсу проводити поліноми через вузли (x_k,y_k), а інтерполяційну функцію необхідно провести плавно (з згладжуванням) між цими вузловими точками. Такі згладжування функції мінімізують функціонал , де p_k – деякі параметри, що визначають ступінь згладжування. В функціоналі є комбінація інтерполяційного проходження кривої поблизу заданих значень і умови мінімальності прогину функції. Чим більші p_k, тим ближче до заданих точок проходить інтерполяційна крива і згладжування мінімальне.

Якщо сплайн-поліном будується на основі функцій, сумованих з квадратом других похідних, то ця інтерполяційна функція мінімізує функціонал (функцію від функцій): , на цьому класі функцій, що входить в функціонал.