Інтерполяційна формула Ньютона

Інтерполяційна формула Ньютона дозволяє виразити інтерполяційний многочлен L_n(x) через значення f(x) в одному з вузлів і розділених різниць функції f(x), побудованих по вузлах x₀,x₁,x_2,…x_n. Розділеними різницями першого порядку називається відношення . По розділених різницях першого порядку будуються розділені різниці другого порядку (4.6)

Аналогічно, знаходяться розділені різниці більш вищих порядків. Розділена різниця k-того порядку слідуючим чином виражається через значення функції f(x) в вузлах: . При цьому інтерполяційна формула Ньютона має вигляд:

(4.7)

Інтерполяційну формулу Ньютона використовують при інтерполюванні однієї і тієї ж функції, але з кількістю вузлів, яка весь час зростає. Якщо ж цікавить інтерполювання декількох функцій в незмінній кількості вузлів, використовується форма Лагранжа. Зауважимо, що обидві формули представляють собою різні форми запису одного і того ж многочлена a₀ + a₁x_i + a₂x²_i + … + a_nxⁿ, який задовольняє умовам інтерполяції.

Відмінність форми Лагранжа і Ньютона виявляється ще і в тому, що в першому випадку для пошуку кожного нового значення функції в довільній точці х доводиться перераховувати всі коєфіцієнти. В методі Ньютона коефіцієнти полінома обраховуються лише один раз, так як кількість вузлів незмінна. Перевагою вище наведеного алгоритму Лагранжа є те, що він дозволяє використовувати в ролі вузлів довільні координати х. При цьому мінімальна похибка інтерполювання буде при використанні вузлів в точках запропонованих Чебишевим: .

В цьому випадку похибка

(4.8)

мінімальна, тому що добуток мінімальний та становить по величині менше . Використання довільних вузлів в методі Ньютона також можливе, але приводить до значного ускладнення алгоритму.