Геометрична інтерпретація границі функції за Коші

Нехай дано графік функції , яка має границю, що дорівнює числу А при (рис.3.1.1). Для будь-якого наперед заданого додатного числа знайдеться окіл точки а радіусу такий, що частина графіка функції , що відповідає околу (а – d, а + d), міститься усередині смуги, обмеженої прямими у = А – e, у = А + e. Відзначимо, що в точці а функція може приймати значення, яке не дорівнює А, або взагалі може бути не визначена.

Рисунок 3.2 – Геометрична інтерпретація границі функції

Теорема 3.12.

Якщо функція має границю , то вона (границя) є єдиною.

Теорема 3.12 виходить з теореми 3.1, оскільки послідовність, що збігається, може мати тільки одну границю.

Приклад 3.4.

Довести, що .

Розв’язання. Візьмемо яке-небудь число . Завдання полягає в тому, що за заданим числом знайти таке , для якого з нерівності
випливала б нерівність або .

Після перетворення останньої нерівності, отримаємо

або .

Таким чином, якщо узяти , то для всіх х, що задовольняють нерівність буде виконуватися нерівність . Це означає, що .

Наприклад, якщо , то ; якщо , то , і т.д.