Системный анализ и синтез. Для ответа на поставленные вопросы существуют специальные статистические методы и, соответственно, показатели

Для ответа на поставленные вопросы существуют специальные статистические методы и, соответственно, показатели, значения которых определенным образом (и с определенной вероятностью) свидетельствуют о наличии или отсутствии линейной связи между переменными. В первом случае это коэффициент корреляции величин x и y, во втором случае — коэффициенты линейной регрессии a и b, их стандартные ошибки и t -статистики, по значениям которых проверяется гипотеза об отсутствии связи величин x и y.

В качестве меры для степени линейной связи двух переменных используется коэффициент их корреляции. Формула расчета выборочного коэффициента корреляции величин x и y, который рассчитывается по данным выборки, имеет вид

(1)

где — коэффициент корреляции;

— среднее значение произведения величин используемых

показателей;

— среднее значение показателя, рассматриваемого в качестве

независимой переменной;

— среднее значение показателя, рассматриваемого в качестве

зависимой переменной;

— среднеквадратическое отклонение величины x;

, (2)

— среднеквадратическое отклонение величины y.

(3)

n — число значений переменных.

Если переменные независимы, то коэффициент корреляции близок нулю и наоборот. Далее для оценки тесноты связи этих переменных воспользуемся данными таблицы 3.

Таблица 3 — Оценка тесноты связи переменных

Величина коэффициента корреляции	0,1…0,3	0,3…0,5	0,5…0,7	0,7…0,9	0,9…0,99
Теснота связи	слабая	умеренная	заметная	тесная	весьма тесная

Чтобы определить уравнение линейной регрессии и его коэффициенты, используется метод оценивания параметров линейной регрессии, минимизирующий сумму квадратов отклонений наблюдений зависимой переменной от искомой линейной функции, который называется методом наименьших квадратов. Коэффициенты линейной регрессии

у = ах + b определяются из системы уравнений

Коэффициенты а и b определяются по формуле

(4)

. (5)

Уравнение функциональной зависимости можно найти, используя функции «НАКЛОН» и «ОТРЕЗОК» в прикладной программе Excel.

Функция «НАКЛОН» позволяет определить значение a, т. е. наклон линии линейной регрессии. Функция «ОТРЕЗОК» позволяет определить значение свободного члена линейной регрессии b.

Так как для генеральной совокупности выборочный коэффициент корреляции является случайной величиной, то для нее он может быть равен нулю. Для проверки гипотезы о равенстве коэффициента корреляции для генеральной совокупности нулю используют t-статистику (имеющая распределение Стьюдента (n -2) степенями свободы), рассчитываемая по формуле

(6)

где — расчетная величина критерия Стьюдента;

— коэффициент корреляции;

n — число значений переменных.

Для проверки нулевой гипотезы находят по таблице Стьюдента (таблица 4) критическое значение t_табл при заданной доверительной вероятности Р = 0,95 или P = 0,99 и числе степеней свободы υ = n – 2. Далее необходимо сопоставить критическое значение t_табл с определенным по выборочным данным значение t-статистики. Если расчетная величина t -критерия окажется больше табличной, то это означает, что полученный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля, если же расчетное значение критерия меньше, чем табличное, то коэффициент корреляции следует считать равным нулю.

Таблица 4 — Критические значения критерия Стьюдента tk (Р, υ)