Ошибки обрезания и генерация временного шага

Концентрации примесей, формирующиеся в результате диффузионного процесса, являются непрерывными функциями пространства и времени. Профили распределения концентрации, полученные из численного моделирования, представляют собой дискретную аппроксимацию как по времени, так и по пространству, имея в виду, что эти функции непрерывны. Пространственная и временная дискретизации приводят к так называемым ошибкам обрезания в численном решении уравнения непрерывности. Эти ошибки малы, если малы интервалы по пространству и времени.

В программе SUPREM II максимальное число дискретных интервалов по пространству фиксировано и равно 400. Таким образом, здесь наложены ограничения на наименьшее приращение по пространственной координате Dy. Тем не менее на практике эти пространственные шаги, как правило, порядка 100 ангстрем, что обеспечивает точные результаты для большинства расчетов. Очевидно, существует определенное соответствие между временем расчета, необходимым для обычного моделирования, и ошибками, обусловленными пространственной дискретизацией. Трудно вывести уравнения, которые удовлетворяли бы этим соотношениям, особенно когда рассматриваются профили с различными формами. Правило для выбора величины шага по координате D y состоит в том, что D y должно быть достаточно мало для адекватного воспроизведения окончательного профиля с большим градиентом.

Обычно по мере развития процесса диффузионного перераспределения профиля легирующих примесей эти профили имеют тенденцию становиться менее крутыми, и, таким образом, скорость изменения содержания примеси в каждой дискретной подъячейке уменьшается. Разумно предположить, что ошибки временной дискретизации для отдельного дискретного пространства должны быть пропорциональны скорости изменения профиля, т.е. скорости изменения содержания примеси в каждой подъячейке. Таким образом, в целях экономии времени расчета ошибки обрезания должны поддерживаться как можно более постоянными в процессе моделирования, так что временные шаги должны увеличиваться по мере увеличения времени моделирования. Эта схема адаптирована в программе SUPREM II, где временные шаги увеличиваются по параболическому закону, начиная с малого значения, равного примерно половине минуты.

В заключение отметим, что программе SUPREM II присуща особенность, которая позволяет значительно снизить время моделирования. Основная идея состоит в том, что концентрация примеси ниже 10¹³ см^-3 в физическом смысле незначительна, и нет необходимости ее учитывать при расчетах. Алгоритм программы построен так, что размер области моделирования сохраняется для каждого типа примеси и увеличивается по мере расплывания диффузионного профиля. Следовательно, число пространственных точек, по которым численно решается уравнение непрерывности, всегда оптимально и контролируется в процессе моделирования.