C(y) SiOSi

y

Рис. 2.1. Разделение области моделирования на дискретные ячейки.

Примесь движется через границы ячейки

. (2.3)

Для простоты можно пренебречь членами генерации и потерь в (2.2). Производная по пространству в уравнении (1.12) и интегрирование выражения (2.3) осуществляется посредством численных аппроксимаций. В частности, поток F_d рассчитывается посредством замены (1.12) на разностное уравнение, а Q_i рассчитывается путем интегрирования по средней точке. Ячейки для двух крайних границ, таких, как граница SiO₂/Si (если она существует), следует рассмотреть особо.

1. Верхняя граница. Первая дискретная ячейка представляет собой половину ячейки с узлом на физической границе. Обычно на этой границе рассматриваются потоки испарения или внедрения F_s(0), определяющиеся уравнением (1.27) (как показано в разделе 1.2.4). На внутренней границе этой ячейки диффузионный поток находится так же, как и в других ячейках, из уравнения (1.12). Уравнение непрерывности для этих ячеек имеет вид

.(2.4)

2. Граница в глубине подложки. Эта граница обычно лежит внутри кремниевой подложки в точке, где заканчивается моделируемое пространство. Последняя ячейка на этой границе представляет собой половинную ячейку, подобную первой. Однако предполагается, что граница является отражающей (h=0 в уравнении (1.27)). Поскольку глубина моделирования определяется пользователем, это условие должно гарантировать, что отражающая граница в этой точке не будет влиять на результат моделирования. С другой стороны, использование отражающей границы полезно при применении программы SUPREM II для моделирования нетрадиционных технологий, таких, как кремний на сапфире или поликремний на SiO₂. Уравнение непрерывности для этой последней ячейки имеет вид

.(2.5)

3. Граница раздела SiO₂/Si. Поскольку эта граница раздела находится в экстремальной точке, где рассчитывается концентрация примеси, она всегда должна лежать в узле. Этот узел принадлежит двум полуячейкам: одна в SiO₂, а другая в Si. Так как концентрация примеси обычно непрерывна на поверхности раздела (из-за термодинамической сегрегации), узел на поверхности раздела содержит две различные концентрации: одна для полуячейки оксида, а другая для полуячейки кремния. Предполагается, что поток через границу раздела F_s, описываемый уравнением (1.27), протекает между этими двумя ячейками, в то время как диффузионный поток, вычисляемый из уравнения (1.12) с соответствующими коэффицентами диффузии для двух материалов, протекает через две другие границы. Уравнение непрерывности для двух полуячеек поверхности раздела имеет вид

, (2.6)

. (2.7)

Уравнения для граничных ячеек (2.4 – 2.7) вместе с уравнением (2.2) для всех других ячеек образуют систему уравнений, которая описывает временное перераспределение примеси. В численном виде этот расчет получается заменой временной производной в этих уравнениях дискретным приближением. Все приведенные выше уравнения имеют вид

, (2.8)

где H_i(t) обозначает разность потоков через границу i-й ячейки. Предполагается, что в момент времени t₀ распределение концентрации известно, а распределение в будущий момент времени t₁ может быть найдено посредством решения уравнения

.(2.9)

Существуют различные методы численного интегрирования уравнения (2.9). В программе SUPREM II используется метод первого порядка точности, а именно, предполагается, что H_i(t)=H_i(t₁) в течение временного интервала (t₁-t₀). Тогда уравнение (2.9) принимает вид

. (2.10)

Таким образом, имеется столько уравнений в приведенной выше форме, сколько существует дискретных ячеек. Кроме того, поскольку для каждой ячейки функция H_i определена при t₁ (а именно при будущем времени), следовательно, необходимо учитывать не только концентрацию в ячейке C_i (t₁), но и концентрации в двух соседних ячейках C_i+-1(t₁). Таким образом, результирующие уравнения взаимно связаны и образуют систему с трехдиагональным детерминантом. Эта система уравнений решается для небольших временных интервалов посредством метода гауссовского исключения. Поскольку эта система уравнений нелинейна вследствие зависимости коэффициента диффузии от концентрации примеси, используется итерационный метод Ньютона-Рафсона для достижения необходимой сходимости результатов.

2.2. Движущиеся границы в системах SiO₂/Si и Si/epiSi

При окислении кремния поверхность раздела SiO₂/Si смещается в кремний, а слой окисла расширяется со скоростью V_ox(t) согласно выражению

, (2.11)

где Z_ox определено в разделе 1.3. При этих условиях с движущейся границей поток примесей F_b (см. уравнение (1.29)) также протекает через поверхность раздела.

Наличие движущейся границы усложняет численную формулировку уравнения непрерывности. Во-первых, поскольку объемное отношение молекул кремния к оксиду кремния не равно единице (a=0.44), объемы дискретных ячеек увеличиваются, так как они становятся частью оксида кремния. Таким образом, для ячеек около поверхности раздела SiO₂/Siих объем является функцией времени, и границы интегрирования уравнения (2.3) изменяются между временными интервалами t₁ и t₀. Во-вторых, существование двух потоков через границы раздела F_s и F_b создает резкий разрыв в потоке примесей, который распространяется через моделируемое пространство при окислении. Поток через границу разделаSiO₂/Si от момента времени t₀ до момента времени t₁ можно рассматривать как суперпозицию двух отдельных процессов. Для первого процесса предполагается, что поверхность раздела движется быстро (при t₀⁺) в ее новый узел и что F_s протекает для временного интервала (t₀, t₁). Для второго процесса характерно перераспределение примесей в двух ячейках SiO₂ оксида кремния вблизи поверхности раздела из-за потока F_b через движущуюся границу, который протекает через границу этих двух ячеек.

В численной форме, предполагая что разрыв непрерывности возникает в непосредственной близости от i-й ячейки во временном интервале (t₀, t₁), приближение первого порядка точности для интегрального уравнения (2.9) дает

. (2.12)

Номер узла i может быть равен I или I-1, где I определяет узел на поверхности раздела. Знак "+" используется, когда это уравнение описывает непрерывность для граничной ячейки I, а знак "-" - для описания непрерывности потока для ячейки I-1, принадлежащей окислу.

Как и для случая диффузии при окислении, алгоритм для диффузии при эпитаксии выведен из уравнения сохранения примеси (1.8). Граница раздела газ/твердое тело всегда располагается в узле пространственной сетки, и в течение временного приращения Dt не может генерироваться более, чем один новый узел.

При решении уравнения сохранения используется численный метод первого порядка точности по времени, а интегрирование проводится по средней точке в проcтранстве. Процедура решения результирующей системы уравнений следующая:

1. В момент времени t₀ концентрации примесей твердом теле и газе (возле границы раздела) известны.

2. До момента времени t₀ выбирается такой промежуточный шаг, при котором содержание примеси в двух ячейках вблизи поверхности раздела взаимно связывается. Концентрация в новом узле i-1, которая должна быть увеличена на следующем временном интервале Dt, принимается равной концентрации газа С^*_gI, а концентрация в узле на границе раздела i изменяется, чтобы учесть сохранение частиц в i-й ячейке. Результаты этого промежуточного шага являются начальными условиями для следующего приращения по времени.

3. Время изменяется с шагом Dt от t₀ до t₀+Dt, и решается система уравнений сохранения примеси для каждой подъячейки. Поверхность раздела в этом случае смещается на один узел сетки. С этого момента процедура расчетов повторяется.

При решении системы уравнений на шаге 3 следует учитывать оба потока через поверхность раздела (как описанно в разделе 2.3). Однако несмотря на то, что поток F_s, обусловленный испарением, вытекает или втекает в сложную систему Si/epiSi, поток через движущуюся границу F_b отсутствует. Поток F_b приводит только к обмену примесями между (i-1)-й и i-й ячейками. Это всегда должно выполняться, если количество частиц сохраняется при использовании данного алгоритма.

Уравнения для закона сохранения примеси в первых двух ячейках от момента времени t₀ до момента времени t₁ имеют вид

,(2.12а)

,(2.12б)

где F_D представляет собой диффузионный поток, а остальные символы и индексы определены в предыдущих разделах.