Решение типовых примеров. Пример 7. Материальная точка массой m с начальной скоростью движется прямолинейно

Пример 7. Материальная точка массой m с начальной скоростью движется прямолинейно. На точку действует сила сопротивления направленная в сторону, противоположную направлению движения, и по модулю равная (k- размерный постоянный коэффициент). Определить время от начала движения точки до остановки и путь s - пройденный точкой.

Решение. Примем за ось Ох прямую, вдоль которой происходит движение, а за начало координат - начальное положение точки. На точку действует только одна сила следовательно, дифференциальное уравнение движения точки имеет вид

.

Так как точка движется по прямой, то и уравнение принимает вид

Его общее решение

Поскольку при t=0 то Следовательно, Так как в момент t (остановки точки) = 0, то отсюда следует, что Для того чтобы найти х как функцию t, полученное частное решение исходного уравнения перепишем в виде

Проинтегрировав его, будем иметь

.

Так как при то

Таким образом,

Следовательно, в момент остановки пройденный путь

.