Алгоритм оптимизации для синтезированного SG(УТ)-критерия

(субъективные вероятности событий не учитываются)

Процедуры выбора для синтезируемого S_{G(УТ )}-критерия сначала формализуем для ситуации, когда ЛПР не намерен использовать свои субъективные оценки для вероятностей случайных событий θ_j (чтобы регулировать наклон направляющей семейства линий уровня критерия). Поэтому сначала определим понятие так называемого базового положения направляющей для линий уровня синтезируемого критерия. А именно, определим такое положение как направление, которое задают в пространстве доходов две точки: УТ (утопическая точка) и АУТ (антиутопическая точка, которая есть точка с наименьшими значениями дохода применительно к каждому возможному случайному событию полной группы в рамках заданного множества альтернатив). В такой ситуации алгоритм S_{G (УТ)}-критерия формализуется следующими шагами.

Шаг 1. Задается матрица потерь Сэвиджа (ее элементы обозначаются через ).

Шаг 2. Определяются координаты для АУТ в поле потерь: .

В поле потерь число представляет самые большие возможные потери, которые соотносятся с событием θ_j (это - самый большой элемент j -го столбца матрицы потерь).

Шаг 3. Определяются вспомогательные показатели (обозначаем их через ), чтобы соотносить такие показатели с аналогичными параметрами критерия Гермейера. В общем случае эти показатели не являются субъективными вероятностями для случайных событий θ_j полной группы. Это - числовые величины, которые определяются по формулам:

.

Шаг 4. На этом шаге нормируются найденные вспомогательные показатели таким образом, чтобы их сумма давала единицу. Для этого каждый показатель делим на сумму всех таких величин, либо умножаем на нормирующий множитель . Результатом процедур нормировки на этом шаге будут показатели, которые далее обозначаем через :

.

Указанные показатели далее будут «играть роль» субъективных вероятностей в формате процедур критерия Гермейера. Поэтому будем называть их «симуляторами» (субъективных вероятностей).

Заметим, что наличие множителя в формате процедуры нормировки (при переходе от вспомогательных показателей к указанным «симуляторам» ), как будет видно из дальнейшего, не отразится на выборе оптимального решения и на ранжировании анализируемых альтернатив. Поэтому процедуры шага 4 при желании можно опускать.

Шаг 5. Реализуем процедуры критерия Гермейера на базе найденных «симуляторов» субъективных вероятностей с учетом того, что они применяются к матрице потерь, а не к матрице полезностей с отрицательными элементами. Формат таких процедур для менеджера означает следующее.

· К матрице потерь дописывается дополнительный столбец.

· Для каждой строки указанной матрицы потерь находится самое большое значение среди специальных выражений, которые имеют следующую структуру; это – произведение элемента строки матрицы на найденный «симулятор» вероятности соответствующего случайного события, которому соответствует этот элемент.

· Среди всех элементов дополнительного столбца выбирается наименьший, (напомним, речь идет о потерях).

· По указанному элементу устанавливается оптимальное решение / альтернатива.

Графическую иллюстрацию процедур выбора оптимального решения в условиях неопределенности по синтезированному S_{G (УТ)}-критерию дает рисунок 1 (для случая n=2, т.е. когда полная группа случайных событий, влияющих на экономический результат, включает только два таких события).

На рис. 1 ось ОU соответствует показателю дохода в случае наступления первого события полной группы. Ось ОV - соответствует показателю дохода в случае наступления второго события такой полной группы. При этом линии уровня S_{G (УТ)}-критерия представлены угловыми линиями, для которых вершины соответствующего прямого угла расположены вдоль направляющей прямой (она всегда будет проходить через утопическую точку УТ и через антиутопическую точку АУТ). «Стороны» указанного прямого угла прижаты вплотную к конусу предпочтений, соотносимому с вершиной такого угла в «пространстве доходов», расположенной на указанной направляющей прямой. Выбор наилучшей/оптимальной альтернативы на основе графического метода решения подразумевает реализацию следующих процедур. Указанные угловые линии как бы «двигаются» вдоль их направляющей в сторону УТ. В качестве оптимального решения выбирается та альтернатива, которая будет представлена в «пространстве доходов» точкой, расположенной на линии самого высокого уровня (т.е. ближе к УТ). Рис. 1 иллюстрирует, что в качестве оптимального решения по S_{G (УТ)}-критерию будет выбрана именно альтернатива Х₃. Кроме того, легко видеть, что по указанному критерию анализируемые альтернативы ранжируются следующим образом

{ Х₃; Х₄: Х₂; Х₅; Х₁ и Х₆}.

Рис. 1. Иллюстрация выбора в формате S_{G (УТ)}-критерия:

Подчеркнем, что менеджеру не требуется рисовать указанные линии уровня в пространстве доходов (тем более не требуется представлять соответствующие гиперповерхности при большой размерности пространства) и находить оптимальное решение графически. Выбор будет реализован непосредственно на основе указанных выше процедур синтезированного критерия в формате матрицы потерь.

Представленная графическая интерпретация позволяет только глубже понять специфику процедур выбора и возможности, которые получает практикующий менеджер для устранения аномальных феноменов блокировки выбора анализируемых альтернатив в формате рассматриваемого критерия для указанного частного случая n=2.

Числовую иллюстрацию процедур этого критерия рассмотрим на следующем условном примере (конкретное приложение в формате какой-либо модели цепи поставок или в формате модели системы управления запасами потребовало бы значительного увеличения объема статьи).

ПРИМЕР 1. В формате некоторой задачи оптимизации звена или звеньев цепи поставок в условиях неопределенности анализируется матрица полезностей, вид которой представлен в таблице 1.

Таблица 1.

Матрица полезностей

Решения	Доходы при событиях (в тыс. у.е.):
X1
X2
X3	-300
X4
X5
X6

Подчеркнем, что альтернатива X₆ в этом примере подобрана специальным образом. Она обладает нужным свойством для иллюстрации специфики представленного выше нового синтезированного критерия. А именно, ни один из известных классических критериев не выберет ее в качестве оптимальной (проверьте это самостоятельно). При этом отметим, что альтернатива X₆ формализована так, что она не является доминируемой никаким другим из анализируемых решений. Соответственно, любое конкретное ЛПР может выбрать ее в качестве наилучшей / оптимальной. Например, желание такого выбора может возникнуть, когда ЛПР считает, что шансы / важность случайных событий и примерно совпадают (между собой), причем они, скажем, в два раза превосходят шансы событий и (которые в формате модели оптимизации принимаются примерно одинаково возможными). Рассмотрим на примере этой ситуации, какие возможности выбора предоставит менеджеру новый синтезированный S_{G (УТ)}-критерий. Приведем иллюстрацию процедур оптимизации по указанному критерию.

Шаг 1. Предварительно переходим к матрице потерь Сэвиджа. Для этого определяем координаты утопической точки (это - максимумы по столбцам таблицы 1):

Утопическая точка	Координаты при событиях (в млн. руб.):
УТ

После этого определяем элементы матрицы потерь (потери измеряются относительно УТ). Результаты представлены в таблице 2.

Таблица 2.

Матрица потерь

Решения	Потери при событиях (в млн. руб.):
X1
X2
X3
X4
X5
X6

Шаг 2. Определяем координаты АУТ в поле потерь (это - максимумы по столбцам таблицы 2):

События
Координаты АУТ

Шаг 3. Находим вспомогательные показатели (это – величины, обратные координатам АУТ в поле потерь):

= ; = ; = ; = .

Шаг 4. (Можно опустить) Для нормировки вспомогательных показателей ищем сумму и нормирующий множитель . После этого определяем «симуляторы» субъективных вероятностей:

= ; = ; = ; =

(сумма таких «симуляторов» равна единице, но это не будет выполнено, если указанный шаг опустить, что, однако, это не повлияет на окончательный выбор).

Шаг 5. К матрице потерь дописываем дополнительный столбец. В нем представляем значения показателя синтезируемого критерия применительно к каждой альтернативе (для удобства расчетов в ячейках таблицы рядом с событиями θ_j полной группы приведены соответствующие «симуляторы» субъективных вероятностей, найденные на предыдущем шаге). Показатель синтезированного критерия для каждой альтернативы определяем в соответствии с алгоритмом критерия. Например, для первой строки матрицы потерь (формат альтернативного решения X₁) для нахождения элемента дополнительного столбца выбираем наибольшее из следующих выражений:

200∙36/193; 500∙45/193; 300∙72/193; 900∙40/193.

Легко видеть, что наибольшим из этих выражений является число 36000/193 = 900∙40/193 (т.е. последнее из приведенных выражений). Именно этот показатель и записывается в дополнительный столбец как соответствующий решению X₁ по S_{G (УТ)}-критерию. Требуемые результаты представлены в таблице 3.

Таблица 3.

Выбор оптимального решения по S_{G (УТ)}-критерию

Решения	Потери при событиях (в млн. руб.):	Показатель SG (УТ)-критерия
36/193	45/193	72/193	40/193
X1					36000/193
X2					32000/193
X3					36000/193
X4					36000/193
X5					36000/193
X6					36000/193

Наименьший из найденных показателей дополнительного столбца достигается в строке, которая соответствует альтернативному решению X₂. Это решение является оптимальным по модифицированному S_{G (УТ)}-критерию. Все остальные альтернативы имеют одинаковый показатель критерия. Это означает, что они являются эквивалентными между собой по этому критерию. Отметим, что рассмотренный базовый или опорный вариант реализации S_{G (УТ)}-критерия не выбрал альтернативу X₆ (впрочем, ее не выберут в качестве оптимальной и все классические критерии, - проверьте это самостоятельно). При этом анализируемые альтернативы ранжируются по модифицированному S_{G (УТ)}-критерию следующим образом: { X₂; все остальные альтернативы }.

Обратим внимание на следующее. Полученное ранжирование анализируемых альтернатив не соответствует ни одному из соответствующих ранжирований на основе использования любого из представленных в литературе критериев принятия решений в условиях неопределенности (проверьте самостоятельно). Таким образом, очевидно, что указанный подход обогащает арсенал методов, позволяющих менеджеру более адекватно реализовать адаптацию выбора наилучшего решения к предпочтениям ЛПР. Ниже будет показано, что формализуемая далее специальная модификация этого синтезированного критерия позволит еще более эффективно «настраивать» его в соответствии с предпочтениями ЛПР (например, в формате рассматриваемого примера выбор альтернативы X₆ уже не будет исключен).