Угловая скорость и угловое ускорение тела

Угловой скоростью твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, называется векторная физическая величина, полностью характеризующая изменение угла поворота в данный момент времени как по величине, так и по направлению; изображается скользящим вдоль оси вращения вектором.

Пусть за время тело повернулось вокруг неподвижной оси на угол ; тогда средней алгебраической угловой скоростью вращения тела называется отношение

(2.2)

Предельное значение изменения угла поворота тела в данный момент времени при называют алгебраической величиной угловой скорости вращения тела в данный момент времени t:

(2.3)

Здесь ¾ скалярная алгебраическая величина, которая может принимать положительные и отрицательные значения: при > 0 вращение происходит против хода часовой стрелки и (рис.2.3,а); при < 0 ¾ по ходу часовой стрелки и (рис.2.4,б).

Угловую скорость можно определить и как вектор , расположенный на оси вращения и равный

(2.4)

где ¾ единичный вектор, задающий положительное направление оси вращения , или орт оси Oz (рис.2.3).

Рис.2.3

На чертеже угол поворота тела, направление угловой скорости и углового ускорения часто условно изображают дуговыми стрелками. Хотя это не строго.

При этом > 0, если с положительного направления оси вращения поворот тела кажется против хода часовой стрелки, и < 0 ¾ по ходу часовой стрелки. Это соответствует так называемой правой декартовой системе координат. Угол измеряется в радианах, оборотах и т.д.

Проекция вектора угловой скорости на ось вращения Oz

(2.5)

т.е. она равна алгебраической величине угловой скорости вращения тела, если положительные направления отсчета угла и оси Oz соответствуют правой декартовой системе координат.

Числовое значение угловой скорости равно модулю вектора

и определяется как модуль проекции либо как модуль алгебраической

величины угловой скорости тела при его вращении вокруг неподвижной оси:

=

Единица измерения угловой скорости в СИ ¾ радиан в секунду (рад/с). Если тело совершает n , то соответствующая угловая скорость в рад/с определяется по формуле

(2.6)

Угловым ускорением твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, называется векторная физическая величина, полностью характеризующая изменение только величины угловой скорости в данный момент времени; изображается скользящим вдоль оси вращения вектором.

А лгебраической величиной углового ускорением тела называется первая производная от алгебраической величины угловой скорости или вторая производная по времени от угла поворота вокруг неподвижной оси:

(2.7)

Векторную величину угловое ускорение можно определить как

(2.8)

Проекция углового ускорения на ось вращения , или орт осей OZ=Оz

(2.9)

т.е. она равна алгебраическому угловому ускорению тела, если положительные направления отсчета угла и оси Oz соответствуют правой декартовой системе координат.

Значение (модуль) углового ускорения =

Единица измерения углового ускорения в СИ ¾ радиан в секунду в секунду в квадрате (рад/с²).

Строго угловое ускорение изображается в виде скользящего вдоль оси вращения вектора и совпадающего по направлению с вектором угловой скорости ( ­­ ) при > 0 ¾ вращение ускоренное или направленного в противоположную сторону ( ¯­ ) при < 0 ¾ вращение замедленное.

Если =const и > 0 ¾ вращение равноускоренное;

если =const и < 0 ¾ вращение равнозамедленное;

Для равнопеременного вращения:

а) закон изменения угловой скорости ¾ (2.10)

б) закон равнопеременного вращения ¾ (2.11)

при тело вращается равномерно, в этом случае = const и

закон равномерного вращения ¾ . (2.12)

2 .3.2 Скорость и ускорение любой точки твердого тела

при его вращении вокруг неподвижной оси

Свойством вращательного движения твердого тела считается то, что траектории всех точек этого тела являются окружностями, лежащими в плоскостях, перпендикулярных оси вращения. Центры всех этих окружностей лежат на оси вращения, а радиусы равны кратчайшему расстоянию от этих точек до оси вращения. На рис.2.4 для точки M тела, вращающегося вокруг неподвижной оси OZ показана ее траектория - окружность Рис.2.4 радиусом R, а также единичные век

торы , , системы координат сопровождающего трехгранника, причем вектор бинормали направлен так же, как единичный вектор на оси OZ Þ

= [ ´ ]

Как видно из рис.2.4 и 2.5 .

или

R = h_z= МО₁ – радиус окружности траектории точки М;

- траекторная координата точки М, где a = const, h_z = const.

Рис.2.5 ,

Таким образом (2.13)_

Причем: если

если

Скорости точек при вращении вокруг неподвижной оси направлены по касательной к окружности радиусом h = R всоответствии с направлением угловой скорости тела.

Скорости точек при вращении вокруг неподвижной оси направлены по касательной к окружности радиусом h = R всоответствии с направлением угловой скорости тела.

Скорость точки твердого тела можно определить по векторной формуле Эйлера: (2.14)_

Вектор скорости точки М тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равен векторному произведению вектора угловой скорости тела на радиус-

вектор точки М относительно какой-либо точки О, лежащей на оси вращения тела:

Положение точки М относительно неподвижной точки О на оси вращения определяется с помощью радиус-вектора :

= где

причем

Направление вектора можно также определить, исходя из свойств векторного произведения (2.14).

Численное значение (модуль) скорости точки тела при этом определяется как модуль соответствующего векторного произведения, т.е.

(2.15)