Геометрическая интерпретация

Рассмотрим n -мерное векторное пространство Rⁿ, снабженное стандартным скалярным произведением: т.е. если

.

Пусть

(5.25)

(5.26)

где y – вектор столбец размерности фактических значений отклика;

a и b – числовые коэффициенты подлежащие определению т.е a - свободный член и b -коэффициент регрессии;

– вектор размерности , составленный из реальных значений фактора;

- вектор размерности , составленный из единиц;

- вектор, лежащий в двумерной гиперплоскости π, натянутой на векторы и . Мы предполагаем, что эти векторы не коллинеарны. Поставим задачу: найти такие a и b, чтобы вектор e имел наименьшую длину. Другими словами мы хотим наилучшим образом аппроксимировать вектор y вектором , лежащим в гиперплоскости π. Очевидно, что решением является такой вектор , для которого вектор e перпендикулярен плоскости π. Для этого необходимо и достаточно, чтобы вектор был ортогонален векторам и , порождающим плоскость π. (рис. 5.3)

Рис. 5.3 Геометрическая интерпретация построения уравнения регрессии

(5.27)

Используя определение вектора e, получаем следующие соотношения

(5.28)

Раскрыв скобки в последней системе (5.28) получим известные соотношения (5.8).

Также красивую и ясную геометрическую интерпретацию имеет коэффициент детерминированности . Рассмотрим рис.5.4. Вектор является ортогональной проекцией вектора на вектор Вектор - это ортогональная проекция вектора y на двумерную гиперплоскость π, натянутой на векторы и .

Рис. 5.4 Геометрическую интерпретацию имеет коэффициент детерминированности

По теореме о трех перпендикулярах ортогональная проекция вектора на вектор совпадает с . Рассмотрим прямоугольный треугольник со сторонами , и e, для него справедливатеорема Пифагора

(5.29)

Это равенство является геометрическим аналогом соотношения (5.10). Сопоставляя соотношения (5.10), (5.27) и (5.11), получаем соотношение

,

где φ угол между сторонами и .

Таким образом, для справедливо следующее соотношение

.