Теоретические сведения. Рассмотрим некоторый экономический объект (процесс, явление, систему) и выделим только две признака (величины)

Рассмотрим некоторый экономический объект (процесс, явление, систему) и выделим только две признака (величины), характеризующие этот объект. Обозначим признаки буквами Y и X.

Тесноту линейной связи между признаками Y и X характеризует коэффициент корреляции :

, (5.1)

где величина называется ковариацией между признаками Y и X,

;

.

Отметим, что . Чем ближе к единице, тем сильнее связь. Если , то между признаками и существует прямая зависимость, т.е. с ростом одного признака другой признак тоже возрастает. Если , то между признаками и существует обратная зависимость, т.е. с ростом одного признака другой признак убывает. Если , то между признаками и существует линейная зависимость. Если , то между признаками и отсутствует линейная зависимость.

Иногда показателям тесноты связи можно дать качественную оценку (шкала Чеддока) (табл.5.1).

Таблица 5.1

Количественная мера тесноты связи	Качественная характеристика силы связи
0,1-0,3	Слабая
0,3-0,5	Умеренная
0,5-0,7	Заметная
0,7-0,9	Высокая
0,9-0,99	Весьма высокая

Следует отметить, что при вычислении коэффициента корреляции оба признака и входят симметрично (равноправно), т.е. он характеризует как зависимость от , так и зависимость от .

Будем предполагать, что независимая переменная X (объясняющая переменная, предиктор, факторный признак, регрессор) оказывает воздействие на значения зависимой переменной Y (отклик, результативный признак), т.е. имеет место зависимость:

(5.2)

Зависимость (5.2) можно рассматривать с целью установления самого факта наличия или отсутствия значимой связи между Y и X, можно преследовать цель прогнозирования неизвестных значений Y по известным значениям X, наконец, возможно выявление причинно-следственных связей между X и Y. Таким образом, уравнение регрессии позволяет провести анализ и прогноз.

Пусть мы располагаем п - парами выборочных наблюдений над двумя переменными X и Y:

(5.3)

Функция f(X) называется функцией регрессии Y на X, если она описывает изменение значений результирующей переменной Y в зависимости от изменения значений объясняющей переменной Х. Таким образом, имеет место уравнение регрессионной связи между Y и X:

(5.4)

Присутствие в модели (5.4) случайной компоненты e_i, называемой случайным членом или возмущением, обусловлено следующими причинами:

- ошибками спецификации, то есть отбора факторов и выбора связи между явлениями;

- ошибками измерения;

- ошибками, связанными со случайностью человеческих реакций.

Относительно e необходимо принять ряд гипотез, известных как условия Гаусса-Маркова:

1. Равенство нулю математического ожидания случайного члена:

2. Постоянство дисперсии регрессионных остатков (гомоскедастичность остатков):

1. Отсутствие систематической связи (корреляции) между значениями случайного члена в любых двух наблюдениях:
2. - неслучайные величины.

Уравнение линейной регрессии

(5.5)

В данной работе - теоретические значения отклика. Коэффициент в уравнении (5.5) называется коэффициентом регрессии. Его величина показывает среднее изменение результата при изменении фактора на единицу. Параметр может и не иметь экономического смысла, формально это значение функции при нулевом значении параметра . Для определения коэффициентов уравнения (5.5) используется метод наименьших квадратов (МНК).

.

Рис.5.1 Геометрический смысл метода наименьших квадратов.

Рассмотрим сумму

, (5.6)

она равна сумме квадратов отклонений. Величина этой суммы зависит от коэффициентов и . Суть метода наименьших квадратов (МНК) заключается в выборе таких оценок и , для которых сумма квадратов отклонений (остатков) найденных значений функции (5.5) от заданных значений функции (5.3) для всех точек будет минимальной.

Для того чтобы найти набор коэффициентов и , которые доставляют минимум функции , определяемой формулой (5.6), используем необходимое условие экстремума функции нескольких переменных - равенство нулю частных производных. В результате получим нормальную систему для определения коэффициентов и :

(5.7)

После преобразования систему (5.7) можно привести к виду

(5.8)

Таким образом, нахождение коэффициентов и сводится к решению системы линейных уравнений относительно и . Эту систему можно решить различными способами: с помощью обратной матрицы, по формулам Крамера, методом Гаусса, методом подстановки. Решая последним способом, получаем соотношения

(5.9)

Таким образом, коэффициенты и линейного уравнения парной регрессии можно получить по формулам (5.9)