Задание. к теме «Средние статистические величины»

к теме «Средние статистические величины»

На основании расчетных, полученных в задании по теме «Относительные статистические величины», и данных по предприятиям нефтедобывающей компании (таблица 1.8) определить для каждого предприятия и компании в целом следующие показатели, соответствующие второму кварталу текущего года:

· среднюю трудоемкость добычи 1 млн. т. нефти;

· среднюю выработку (объем добычи нефти) в стоимостном выражении;

· среднюю фондоотдачу;

· среднюю величину затрат на добычу 1 млн. т. нефти.

Таблица 1.8

Вариант	Предприятие	Доля предприятия в общем объеме добычи нефти компанией	Общие трудозатраты на добычу нефти во 2 - м квартале, тыс. человеко-дней	Общие затраты на добычу нефти во 2 - м квартале, млн. руб.	Средняя стоимость основных производственных фондов во 2 - м квартале, млн. руб.
1 квартал	2 квартал
		0,28	0,32
	0,28	0,25
	0,20	0,17
	0,24	0,26
		0,18	0,21
	0,26	0,27
	0,34	0,32
	0,22	0,20
		0,15	0,18
	0,23	0,24
	0,33	0,30
	0,29	0,28
		0,21	0,19
	0,22	0,23
	0,30	0,28
	0,27	0,30
		0,16	0,18
	0,18	0,19
	0,31	0,29
	0,35	0,34
		0,26	0,28
	0,17	0,18
	0,23	0,27
	0,34	0,27
		0,22	0,21
	0,20	0,20
	0,27	0,29
4
0,31	0,30
		0,19	0,20
	0,23	0,22
	0,26	0,28
	0,32	0,30
		0,18	0,20
	0,24	0,23
	0,28	0,30
4
0,30	0,28

Продолжение Таблицы 1.8

Вариант	Предприятие	Доля предприятия в общем объеме добычи нефти компанией	Общие трудозатраты на добычу нефти во 2 - м квартале, тыс. человеко-дней	Общие затраты на добычу нефти во 2 - м квартале, млн. руб.	Средняя стоимость основных производственных фондов во 2 - м квартале, млн. руб.
1 квартал	2 квартал
		0,15	0,17
	0,27	0,28
	0,26	0,27
	0,32	0,28
		0,17	0,18
	0,26	0,27
	0,27	0,27
	0,30	0,28
		0,19	0,19
	0,24	0,25
	0,28	0,29
	0,29	0,27
		0,28	0,30
	0,22	0,21
	0,23	0,24
	0,27	0,25
		0,22	0,24
	0,23	0,24
	0,26	0,26
	0,29	0,26
		0,17	0,19
	0,30	0,29
	0,25	0,26
	0,28	0,26
		0,24	0,21
	0,28	0,29
	0,29	0,30
4
0,19	0,20
		0,23	0,22
	0,28	0,29
	0,27	0,28
	0,22	0,23
		0,25	0,24
	0,28	0,27
	0,26	0,27
4
0,21	0,22
		0,20	0,21
	0,29	0,28
	0,27	0,28
	0,24	0,23
		0,18	0,19
	0,29	0,28
	0,27	0,28
	0,26	0,25
		0,21	0,18
	0,24	0,25
	0,28	0,29
	0,27	0,28

Продолжение Таблицы 1.8

Вариант	Предприятие	Доля предприятия в общем объеме добычи нефти компанией	Общие трудозатраты на добычу нефти во 2 - м квартале, тыс. человеко-дней	Общие затраты на добычу нефти во 2 - м квартале, млн. руб.	Средняя стоимость основных производственных фондов во 2 - м квартале, млн. руб.
1 квартал	2 квартал
		0,23	0,22
	0,24	0,25
	0,26	0,27
	0,27	0,26
		0,22	0,23
	0,24	0,25
	0,26	0,27
	0,28	0,25
		0,19	0,20
	0,25	0,26
	0,27	0,27
	0,29	0,27
		0,18	0,19
	0,26	0,26
	0,25	0,26
	0,31	0,29

2. Выборочное наблюдение

Одним из видов статистического наблюдения является выборочное наблюдение. При осуществлении выборочного наблюдения исследуются не все единицы статистической совокупности, а некоторая специальным образом отобранная часть этой совокупности. В данном случае вся статистическая совокупность называется генеральной совокупностью, а часть генеральной совокупности, отобранная для проведения наблюдений, называется выборочной совокупностью (выборкой) или подсовокупностью. Целью выборочного наблюдения является: характеристика выборочной совокупности системой статистических показателей, и перенесение выводов, сделанных на основе наблюдений за выборочной совокупностью на всю, возможно бесконечно большую генеральную совокупность.

Анализ данных, полученных в результате выборочных наблюдений, обычно подразумевает решение следующих задач:

- графическое изображение результатов наблюдений (в виде гистограммы распределения, полигона распределения, эмпирической функции распределения);

- расчет комплекса выборочных характеристик (описательных статистик): центра группирования; рассеяния; формы распределения выборки;

- выдвижение и проверка статистических гипотез относительно закона распределения генеральной совокупности;

- построение интервальных оценок для параметров распределения генеральной совокупности;

В настоящем методическом пособие решение вышеперечисленных задач будет рассмотрено на примере выборочных данных, представленных в виде ряда распределения, с непрерывным характером изменения изучаемого признака.

Пусть, например, в результате статистического обследования человек некоторого населенного пункта были получены следующие данные относительно размеров их заработной платы, представленные в таблице 2.1.

Таблица 2.1 - Распределение жителей региона по размеру заработной платы

Заработная плата в $ США,	количество человек,	частость	Накопленные частоты,	Относительные накопленные частоты,
190 – 192		0,01		0,01
192 – 194		0,05		0,06
194 – 196		0,09		0,15
196 – 198		0,22		0,37
198 – 200		0,28		0,65
200 – 202		0,19		0,84
202 – 204		0,11		0,95
204 – 206		0,04		0,99
206 – 208		0,01		1,00
			-	-

В таблице 2.1 введены следующие обозначения:

- - нижняя граница первого интервала, - верхняя граница первого интервала, …, - нижняя граница - го интервала, - верхняя граница - го интервала, и т. д;

- , , …, - количество наблюдений попавших в первый, второй, …, - й интервал соответственно. В дальнейшем величины , , …, будем называть частотами в первом, втором, …, - м интервале соответственно.

В некоторых случаях таблицу данных дополняют графой содержащей значения относительных частот или частостей - (графа 3), графой накопленных частот – суммой частот текущего и всех предыдущих интервалов (графа 4) и графой относительных накопленных частот (графа 5).

Изобразим данные таблицы 1.1 в виде гистограммы распределения и полигона частот, а так же в виде эмпирической интегральной функции распределения. Построение гистограммы осуществляется по следующим правилам. В прямоугольной системе координат изображают ось абсцисс, на которую наносят значения изучаемого показателя (в данном случае значения размера заработной платы), и ось ординат, на которую наносят количество наблюдений попавших в тот или иной интервал значений изучаемого показателя. В результате вся ось абсцисс будет разбита на ряд непересекающихся интервалов. Над каждым из интервалов построим прямоугольники с высотами равными количеству значений, попавших в каждый из полуинтервалов. В результате получим столбчатую фигуру, которую принято называть гистограммой. Середины верхних оснований прямоугольников соединим между собой отрезками прямых. В результате будет получена ломаная линия, называемая полигоном частот. Пример построения гистограммы и полигона частот по данным таблицы 2.1 представлен на рисунке 2.1.

Рисунок 2.1 Гистограмма распределения работников фирмы по размеру з/платы

Построение эмпирической функции распределения осуществляется по следующим правилам. В прямоугольной системе координат по оси абсцисс откладывают значения границ интервалов (в нашем случае 190, 192, и т. д.), а по оси ординат значения, соответствующие сумме частот наблюдений, попавших в данный и все предыдущие интервалы, деленной на общее количество наблюдений. Так, например, для интервала 194 – 196 значение эмпирической интегральной функции распределения будет равно 0,15 (1+5+9)/100, для интервала 196 – 198 равно 0,37 (1+5+9+22)/100 и т. д. График эмпирической функции распределения представлен на рисунке 2.2.

Рисунок 2.2 Эмпирическая функция распределения работников фирмы по размеру з/платы.

К наиболее часто применяемым выборочным характеристикам, рассчитываемым для конкретной выборки, традиционно относят показатели центра группирования, показатели вариации, а также показатели формы распределения.

Для характеристики центра группирования выборки используются выборочные среднее арифметическое, мода, медиана. В дальнейшем все характеристики, рассчитанные по выборочным данным, будем называть выборочными характеристиками или оценками аналогичных теоретических характеристик. Если выборочные данные представлены в виде интервального ряда распределения, то выборочное среднее арифметическое рассчитывается по следующей формуле:

, (2.1)

где - середина - го интервала; - частота наблюдений в - м интервале.

Для условий рассматриваемого примера средняя арифметическая заработная плата равна:

т.е. средняя заработная плата в данной совокупности составляет 198,96 $. В некоторых случаях расчет среднего арифметического бывает невозможен или нецелесообразен. В данном случае для оценки центра распределения используются мода – значение признака, наиболее часто встречающееся в статистической совокупности и медиана – значение признака, лежащее в середине ранжированного ряда и делящее этот ряд на две равные части. В случае интервального ряда распределения данные показатели рассчитывают по следующим формулам:

; (2.2)

, (2.3)

здесь , - нижняя граница модального и нижняя граница медианного интервала соответственно; - ширина модального или медианного интервала соответственно; , , , - частота наблюдений в модальном, предмодальном, следующим за модальным и медианном интервалах соответственно; - сумма частот во всех интервалах, предшествующих медианному.

Рассчитаем значения моды для данных нашего примера. Определим нижнюю границу модального интервала. Модальным считается интервал, имеющий наибольшую частоту. Следовательно , а модальным является интервал . По данным таблицы 2.1 найдем значения остальных величин, входящих в формулу (2.2): , , , . Подставляя данные значения в (2.2) имеем:

Т. е. наиболее часто встречаемая заработная плата составляет в данной совокупности 199,3 $.

Рассчитаем значения медианы для данных нашего примера. Медианным считается интервал, в котором сумма частот впервые превысит половину объема изучаемой выборочной совокупности. По данным таблицы 2.1 легко установить, что , , . Подставляя данные значения в (2.3) имеем:

.

Видно, что в данной выборке значения медианы и средней арифметической оказались равны между собой.

В общем случае расчет таких показателей как мода и медиана имеет смысл для выборок, распределение которых является асимметричным. В случае симметричных распределений выборки все три показателя равноправны, т. к. в таких рядах .

Характеристика ряда распределения только с помощью выборочного среднего арифметического, выборочных моды или медианы является недостаточной, т. к. эти показатели не дают полной информации относительно разброса индивидуальных значений исследуемой выборки относительно центра группирования. Для характеристики вариации значений признака используются следующие показатели: размах вариации; выборочное среднее линейное отклонение; выборочная дисперсия; выборочное среднеквадратическое отклонение; квартильное отклонение; выборочный коэффициент вариации.

Размах вариации представляет собой разность между максимальным и минимальным значением признака в изучаемой выборочной совокупности:

. (2.4)

При простоте расчета данный показатель обладает недостатком, связанным с тем, что он учитывает вариацию только крайних значений выборки и не учитывает вариацию всех остальных членов изучаемой совокупности. Для нашего примера размах вариации равен:

рублей.

Более точно вариацию характеризуют показатели среднего линейного отклонения, среднего квадратического отклонения и дисперсии так как учитывают вариацию всех значений в исследуемой совокупности. Выборочное среднее линейное отклонение в случае интервального ряда рассчитывается по следующей формуле:

. (2.5)

Выборочная дисперсия - средняя из квадратов отклонений значений признака от их средней величины. В случае интервального ряда распределения дисперсия рассчитывается по следующей формуле:

. (2.6)

Выборочное среднее квадратическое отклонение представляет собой квадратный корень из дисперсии и соответственно равно:

.[1] (2.7)

Для расчета вышеперечисленных показателей по данным рассматриваемого примера составим вспомогательную таблицу 2.2, данные из которой будем использовать для дальнейших расчетов.

Таблица 2.2 - Вспомогательная таблица для расчета характеристик вариации

190-192				7,96	7,96	63,3616
192-194				5,96	29,8	177,608
194-196				3,96	35,64	141,1344
196-198				1,96	43,12	84,5152
198-200				0,04	1,12	0,0448
200-202				2,04	38,76	79,0704
202-204				4,04	44,44	179,5376
204-206				6,04	24,16	145,9264
206-208				8,04	8,04	64,6416
					233,04	935,84

По данным таблицы 2.2 определяем значения искомых параметров:

- выборочное среднее линейное отклонение (сумма значений колонки 6 деленная на сумму значений колонки 2):

;

- выборочная дисперсия (сумма значений колонки 7 деленная на сумму значений колонки 2):

;

- выборочное среднеквадратическое отклонение:

.

Дисперсия и среднеквадратическое отклонение являются показателями, наиболее часто используемыми в статистических исследованиях. Однако в некоторых случаях расчет данных показателей является затруднительным (например, когда в качестве оценки центра распределения используется мода или медиана). В данном случае в качестве показателя, характеризующего вариацию в изучаемой совокупности, может использоваться т. н. квартильное отклонение, представляющее собой полуразность третьей и первой квартилей:

, (2.8)

где - первая и третья квартиль исследуемой совокупности соответственно. Под квартилями понимаются такие значения признака, которые делят всю исследуемую совокупность на четыре равные части. Таким образом, 25 % значений исследуемей совокупности расположены левее первой квартили, 50 % значений исследуемей совокупности расположены левее второй квартили (т.е. вторая квартиль численно равна медиане), 75 % значений исследуемей совокупности расположены левее третьей квартили.

Общая формула для расчета квартилей может быть записана следующим образом:

, (2.9)

здесь - нижняя граница - го квартильного интервала; - ширина - го квартильного интервала; - частота в - м квартильном интервале; - сумма частот во всех интервалах, предшествующих квартильному.

Определим значение первой и третьей квартили, используя данные таблицы 2.1:

;

.

Таким образом, квартильное отклонение равно:

.

Перечисленные показатели вариации являются абсолютными и, поэтому, при сравнении вариации в различных статистических совокупностях иногда бывают неудобными, т. к. могут принимать любые значения. Поэтому в практике статистических исследований расчет показателей вариации дополняют расчетом следующих относительных показателей вариации:

- коэффициент осцилляции:

; (2.10)

- выборочное относительное линейное отклонение:

; (2.11)

- выборочный коэффициент вариации:

; (2.12)

- относительная квартильная вариация:

; (2.13)

Для данных, приведенных в таблице 2.1, значения данных показателей равны:

; ;

; .

Из всех рассчитываемых показателей наибольшее распространение имеет выборочный коэффициент вариации, который чаще всего используют для характеристики однородности исследуемой совокупности. Если данный показатель менее 0,3, то исследуемая совокупность считается однородной.

Для расчета показателей формы распределения, к которым традиционно относят показатели асимметрии и эксцесса, предварительно дадим понятие выборочных моментов распределения.

Моментом распределения порядка относительно начала отсчета или начальным моментом порядка называется среднее арифметическое - х степеней индивидуальных значений статистической совокупности. Для данных, представленных в виде интервального ряда распределения начальные моменты рассчитываются по следующей формуле:

. (2.14)

Центральным моментом распределения порядка называется среднее арифметическое - х степеней разностей наблюдаемых значений и средней арифметической:

. (2.15)

Введенные понятия используются для расчетов показателей формы выборочного распределения – асимметрии и эксцесса. Наиболее распространенными являются следующие формулы расчета данных показателей:

- асимметрии:

; (2.16)

- эксцесса:

. (2.17)

Показатель асимметрии характеризует симметричность распределения. То, насколько велика асимметрия, оценивается с помощью среднеквадратической ошибки асимметрии:

. (2.18)

Показатель эксцесса характеризует т. н. плосковершинность или островершинность распределения. То, насколько велик эксцесс, оценивается с помощью среднеквадратической ошибки эксцесса:

. (2.19)

Если выполняются соотношения:

; (2.20)

; (2.21)

то асимметрия и эксцесс признаются существенными, в противном случае они признаются несущественными и их наличие может быть объяснено случайными причинами.

Рассчитаем значения асимметрии и эксцесса по данным, представленным в таблице 2.1. Для расчета данных величин составим вспомогательную таблицу 2.3.

Используя данные таблицы 2.3, рассчитаем значения искомых показателей:

- асимметрии (сумма значений столбца 4, деленная на среднеквадратическое отклонение в третьей степени):

;

- эксцесса (сумма значений столбца 5, деленная на среднеквадратическое отклонение в четвертой степени):

.

Таблица 2.3

Вспомогательная таблица для расчета выборочных моментов.

190-192			-504,358	4014,692
192-194			-1058,54	6308,92
194-196			-558,892	2213,213
196-198			-165,65	324,6736
198-200			0,001792	7,17E-05
200-202			161,3036	329,0594
202-204			725,3319	2930,341
204-206			881,3955	5323,629
206-208			519,7185	4178,536
			0,3072	25623,06

Среднеквадратические ошибки данных величин, рассчитанные по формулам (2.18, 2.19) составили соответственно , . Отношения (2.20, 2.21) составили соответственно и следовательно асимметрия и эксцесс могут быть признаны несущественными.

Исследование распределения выборки, как уже было сказано выше, преследует цель перенесения выводов, сделанных по результатам выборочного наблюдения, на всю (возможно, бесконечно большую) генеральную совокупность. Одной из основных задач, которую необходимо решить для достижения поставленной цели, является задача оценки соответствия распределения выборки какому-либо теоретическому закону распределения, оценивания параметров распределения генеральной совокупности и проверка статистических гипотез относительно данных параметров.

Оценка степени соответствия распределения выборки какому-либо теоретическому закону распределения проводится с использованием специальных критериев, которые принято называть критериями согласия. Наиболее распространенным из данных критериев является критерий Пирсона (читается хи – квадрат). Алгоритм использования данного критерия состоит в осуществлении следующих процедур:

1. Выдвигается статистическая гипотеза : выборка извлечена из генеральной совокупности имеющей распределение с функцией [2], где - параметры распределения, значения которых являются заранее неизвестными, и назначается уровень значимости [3], на котором будет проверяться данная гипотеза.

2. Неизвестные параметры заменяются их выборочными оценками.

3. Весь объем наблюдений разбивают на непересекающихся интервалов , , …, и подсчитывают количество значений в каждом - м интервале.

4. Зная закон распределения и выборочные оценки его параметров, оценивают вероятность попадания случайно отобранной единицы в - й интервал по известной формуле:

; (2.22)

5. Зная вероятности и объем выборки , рассчитывают значения теоретических частот (или частот, которые были бы зафиксированы в выборке, если бы она в точности подчинялась гипотетическому закону распределения). При этом если в каком либо из интервалов , то данные интервалы объединяют с соседними так, чтобы в итоге для каждого интервала теоретическая частота была более . Новое число интервалов обозначим ;

6. Рассчитывают меру расхождения между ожидаемыми и наблюдаемыми частотами в следующем виде:

. (2.23)

При выполнении гипотезы распределение величины будет -распределению с степенями свободы. В случае если величина окажется меньше критической границы распределения, соответствующего выбранному заранее уровню значимости :

, (2.24)

то гипотезу принимают и считают, что расхождение между теоретическим и эмпирическим распределением является статистически незначимым.

Рассмотрим применение критерия для данных рассматриваемого примера. Форма гистограммы, полигона частот, эмпирической функции распределения, близость моды, медианы и выборочного среднего арифметического, а также несущественность асимметрии и эксцесса распределения выборки позволяют выдвинуть гипотезу : выборка извлечена из генеральной совокупности, подчиняющейся нормальному закону распределения случайных величин с функцией плотности распределения:

. (2.25)

Назначим уровень значимости для проверки гипотезы . Закон нормального распределения имеет два параметра: - математическое ожидание и - среднеквадратическое отклонение, следовательно, необходимо найти оценки данных величин. Наиболее часто в качестве оценок данных параметров принимаются соответственно выборочное среднее арифметическое и выборочное среднеквадратическое отклонение .

Как известно вероятность того, что случайная величина, подчиняющаяся закону нормального распределения, при испытаниях попадет в интервал , вычисляется по следующей формуле:

, (2.26)

где - нормированная функция Лапласа, значения которой для различных приведены в приложении 1. Заменив в (2.26) величины и их выборочными оценками и , рассчитаем значения вероятностей для соответствующих интервалов[4]. Так, например, для первого интервала находим:

.

Вычисленные таким образом вероятности заносим в графу 4 таблицы 2.4. Далее в графу 5 таблицы 2.4 для каждого интервала заносим теоретические частоты , а в графу 6 расхождения между теоретическими и наблюдаемыми частотами, вычисленные по формуле (2.23). При этом интервалы 1 – 2 и 9 – 10 были объединены с соседними ввиду того, что в них .

Таблица 2.4 - Вспомогательная таблица для расчета критерия согласия

№ п/п	Интервалы значений	Частоты
	190 – 192			0,0100	1,00 3,85 11,02		0,048
	192 – 194	0,0385
	194 – 196	0,1102
	196 – 198		0,2120	21,20	0,03
	198 – 200		0,2586	25,86	0,18
	200 – 202		0,2120	21,20	0,23
	202 – 204			0,1102	11,02 3,85 1,00		0,001
	204 – 206	0,0385
	206 – 208	0,0100
					0,489

В последней строке шестой графы проставлен итог, который и равен расчетному значению критерия . Таким образом:

.

Вновь образованное количество интервалов . Число параметров нормального распределения, оцениваемых по выборке , следовательно, число степеней свободы величины равно . По таблице значений критических границ распределения (приложение 3) находим, что правосторонняя критическая граница распределения с двумя степенями свободы, соответствующая равна:

.

Сравнивая расчетное и критическое значение критерия можно сделать вывод, что:

,

следовательно, гипотеза о принадлежности выборки нормальному закону распределения не отвергается на уровне значимости .

Принятая гипотеза дает возможность указать доверительные интервалы с принятым уровнем доверительной вероятности для параметров распределения генеральной совокупности. В частности если установлено, что генеральная совокупность подчиняется закону нормального распределения, и объем выборки превышает 30 единиц, то доверительные интервалы для параметра с уровнем доверительной вероятности бесконечно большой генеральной совокупности приобретают следующий вид:

, (2.27)

где - двусторонняя критическая граница нормального распределения, соответствующая вероятности , которая может быть найдена из следующего соотношения:

, (2.28)

где - нормированная функция Лапласа (приложение 1).

Дадим интервальную оценку с уровнем доверительной вероятности 0,95 параметра для условий рассматриваемого примера. По таблице приложения 1 находим, что значению 0,95/2=0,475 соответствует значение . Подставляя найденные значения , , и в (1.27) получаем доверительный интервал для параметра в виде:

Полученный результат говорит о том, что указанный интервал с вероятностью 0,95 содержит в себе значение средней заработной платы всей генеральной совокупности.

Интервальная оценка параметра или нормального распределения рассчитывается с использованием критических границ распределения с степенью свободы при уровне доверительной вероятности по следующей формуле:

, (2.29)

где , верхняя и нижняя граница распределения, соответствующие уровню доверительной вероятности . При больших значениях значения данных величин могут быть найдены с помощью формулы Уилсона-Гилферти:

, (2.30)

причем для расчета верхней критической границы в (1.30) необходимо принять знак +, для расчета нижней критической границы знак .

Рассчитаем доверительные интервалы для параметра для условий рассматриваемого примера. По формуле (2.30) рассчитываем значения критических границ распределения:

;

.

Подставляя полученные значения в формулу (2.29) получаем доверительный интервал для параметра с уровнем доверительной вероятности 0,95:

;

.

Полученный результат говорит о том, что данный интервал с вероятностью 0,95 будет содержать в себе значение дисперсии заработной платы всей генеральной совокупности.

Задания для выполнения самостоятельной работы по теме "Выборочный метод". Для своего варианта исходных данных, представленных в виде интервального ряда распределения:

1. дать графическое изображение представленных данных в виде гистограммы и эмпирической функции распределения выборки;

2. рассчитать показатели центра распределения, вариации и формы распределения.

3. выдвинуть статистическую гипотезу о принадлежности выборки закону нормального распределения и проверить данную гипотезу с использованием критерия согласия Пирсона .

4. дать интервальную оценку математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности;

Примечание: при проверке гипотез и построении доверительных интервалов уровень значимости принимать равным: для вариантов 1-5 ; для вариантов 5 – 10 .