Економіко-математичні методи та моделі в економіці. Економетрика

MIHICTEPCTBO ОСВІТИ I НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ

«КИЇВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ»

Факультет менеджменту та маркетингу

Практикум 4

З дисципліни

Економіко-математичні методи та моделі в економіці. Економетрика

На тему:

«Побудова загальної економетричної моделі»

Студентки ІІ курсу групи УС-31

Миколенко Владислав Вікторович

Перевірила:

Ільченко Ксенія Олександрівна

Лазаренко Ірина Сергіївна

Київ - 2015

Тема: Побудова загальної економетричної моделі

У практикумі поставлена така ціль роботи: навчитисьстудентам будувати економетричну модель, знаходити оцінки її параметрів методом найменших квадратів (1МНК). Оцінювати статистичну значущість характеристик звязку, виконувати точковий та інтервальний прогнози залежної (ендогенної) змінної при відомих на майбутні періоди значеннях незалежних (екзогенних) змінних.

Завдання до комп’ютерного практикуму: На основі облікових даних необхідно:

1. Побудувати модель залежності Y від X.

2. Провести ідентифікацію змінних моделі.

3. Провести специфікацію моделі.

4. Розрахувати оцінки параметрів моделі.

5. Розрахувати значення залежної змінної по моделі.

6. Розрахувати дисперсії залежної змінної і залишків.

7. Визначити матриці коваріацій оцінок параметрів моделі.

8. Знайти стандартні помилки оцінок параметрів моделі.

9. Розрахувати коефіцієнти множинної кореляції і детермінації.

10. Розрахувати оцінки достовірності економетричної моделі та її параметрів.

11. Розрахувати точковий та інтервальний прогнози на майбутні періоди,якщо значення екзогенних змінних на ці періоди відомі.

12. Розрахувати довірчі інтервали для прогнозних значень.

13. Дати економічне тлумачення оцінкам параметрів моделі.

14. Провести економічний аналіз одержаної в результаті реалізації економетричної моделі інформації.

15. Зробити висновки і розробити пропозиції для прийняття економічних рішень.

У ході роботи буде простежено зв’язок між показниками площі України, продукції зернових, ВВП з залученням прямих іноземних інвестиції (у), взяті за 1999 – 2013 роки. Оскільки Україна відзначилась на зовнішніх ринках в більшій частці як експортер сільськогосподарської продукції (більша частина якої припадає на зернові культури) у ході роботи висувається за метою визначення зв’язку між цією характеристикою та інвестиційною привабливістю України з точки зору аграрного виробництва.

Задача ідентифікації у моделюванні полягає в мінімізації відхилень між вихідними змінними моделі, які в загальному випадку є функціями від часу t, вхідних змінних і параметрів , та значеннями відповідних вихідних змінних об’єкту шляхом підбору значень параметрів . Як правило, ця процедура не є тривіальною.

Розробка процедури параметричної ідентифікації моделі включає:

- фізичну та формальну постановки задачі ідентифікації;

- вибір методу ідентифікації та його програмна реалізація;

- проведення експерименту та розрахунок значень параметрів.

Фізична постановка задачі ідентифікації формулюється на природній мові і включає перелік параметрів, значення яких необхідно знайти, вимоги до співпадіння значень вихідних змінних моделі та об’єкту (в які моменти часу, точність), вимоги до швидкості процедури (якщо ідентифікація відбувається в контурі управління).

Формальна постановка задачі ідентифікації полягає в записі фізичної постановки у вигляді задачі оптимізації, головною складовою якої є критерій (функціонал) похибки . Параметри можуть розглядатись як константи, так і як функції. Вигляд критерію похибки залежить від специфіки конкретної задачі. Вирізняють парні та непарні критерії похибки. Непарні критерії залежать від знаку відхилення вихідних змінних моделі від змінних об’єкту, а парні – ні. У якості приклада розглянемо парний критерій, який призначений для контролю похибки на всьому інтервалі прогнозу [ ]:

Де m – кількість експериментів; n – кількість вихідних змінних, – значення змінної об’єкту за результатами j -го експерименту.

Звичайно вимірювання проводяться в дискретні моменти часу, тому інтеграли представляються у вигляді дискретних конструкцій за допомогою формул чисельного інтегрування.

В залежності від виду критерію та вимог до швидкості процедури обирається аналітичний або чисельний метод параметричної ідентифікації. Ці методи спираються на методи оптимізації і, як правило, пов’язані з пошуком частинних похідних . Коли аналітичний вигляд залежності невідомий, для розрахунку частинних похідних . застосовуються формули чисельного диференціювання. При необхідності, на основі обраного методу параметричної ідентифікації розробляється комп’ютерна програма для автоматизації розрахунку параметрів.

Далі проводиться серія експериментів і на підставі отриманих даних, з використанням обраного методу ідентифікації, розраховуються значення параметрів моделі. Для знайдених значень параметрів по тим же експериментальним даним розраховуються оцінки адекватності моделі. Значення цих оцінок мають бути значно кращими, ніж поставлені в постановці задачі моделювання вимоги до адекватності моделі, інакше результати ідентифікації є незадовільними і необхідно повторити процедуру або переглянути структуру моделі. Вдало ідентифікована модель проходить перевірку адекватності на іншій серії експериментів [1 С.16].

Специфікація моделі — це аналітична форма економетричної моделі. Специфікація моделі може здійснюватись при допомозі різних видів функцій які можуть бути застосовані для вивчення взаємозв`язків, а саме:

1) лінійна функція;

2) степенева функція.

При цьому в процесі такого дослідження можна кілька разів повертатись до етапу специфікації моделі, уточнюючи перелік незалежних змінних та вид функції, що застосовується.

Специфікація моделі передбачає також добір факторів (чинників) для економічного дослідження. Адже коли вид функції та її складові на відповідають реальним залежностям, та йдеться про помилки специфікації.

Помилки специфікації моделі можуть бути трьох видів:

1) ігнорування істотної пояснюючої змінної при побудові економетричної моделі;

2) введення до моделі незалежної змінної яка не стосується вимірюваного зв’язку;

3) використання не відповідних математичних форм залежності [2].

Як відомо, більшість соціально-економічних показників формується під впливом не одного, а багатьох факторів. Метод побудови моделі такого зв'язку має назву багатофакторного кореляційно-регресійного аналізу. В цьому випадку результативна ознака (Y) пов'язується з допомогою рівняння множинної регресії з двома або більше факторними ознаками (Х1, Х2, Х3, …, Хm).

Найважливішими умовами побудови багатофакторної моделі зв'язку є достатня кількість одиниць у сукупності (як мінімум у 8 разів більше, ніж число факторів) та відсутність мультиколінеарності факторів (близького до функціонального зв'язку між ними). В тому випадку, якщо два факторних показники мультиколінеарні, один з них повинен бути виключений з моделі.

На практиці використовуються два види рівнянь множинної регресії:

· лінійне (адитивне):

· нелінійне (мультиплікативне):

де а0, а1, а2,..., аm – параметри рівняння множинної регресії;

Х1, Х2,Х3,..., Хm - факторні ознаки.

Оцінка параметрів рівняння множинної регресії здійснюється методом найменших квадратів. Параметри а1, а2,..., аm називаються коефіцієнтами регресії та показують, на скільки одиниць змінюється у при збільшенні х на одиницю, при умові, що інші фактори є сталими.

Для вимірювання тісноти взаємозв'язку між двома ознаками, що включені у модель, визначають парні коефіцієнти кореляції (ryx1, ryx2, rx1x2). Тісноту зв'язку між результативною ознакою (Y) та факторною (при спільному впливі всіх факторів) характеризують часткові коефіцієнти кореляції (Ryx1, Ryx2).

Тісноту взаємозв'язку між результативною ознакою та сукупністю всіх факторних ознак визначають на основі коефіцієнта множинної кореляції R. Величина D = R2 називається коефіцієнтом детермінації, що показує, на скільки процентів варіація Y обумовлюється варіацією всіх факторних ознак, включених у модель [3].

Якщо побудована модель є адекватною і статистично значимою, її можна застосовувати для прогнозування або передбачення значень залежної змінної моделі.

Про прогнозування кажуть, коли в часових рядах (динамічній вибірці) прогнозний період настає пізніше, ніж базовий. Якщо ж модель побудована за просторовою вибіркою, прогноз здійснюється на основі очікуваних значень пояснюючих змінних, які перебувають за межами застосованої вибірки. Про передбачення кажуть, коли в часових рядах (динамічній вибірці) прогнозний період не виходить за базовий. Якщо ж модель побудована за просторовою вибіркою, прогноз здійснюється на основі очікуваних значень пояснюючих змінних, які також не виходять за межі застосованої вибірки. Внаслідок цього прогнозні значення залежної змінної завжди є менш точними, ніж передбачувані, але вони є більш інформативними і бажаними в економічному аналізі. Якість прогнозу тим краща, чим повніше виконуються передумови моделі у прогнозний часовий період чи у прогнозному просторі, чим надійніше обчислено параметри моделі і більш точно визначено прогнозні, очікувані значення пояснюючих змінних.

Нехай відомо вектор прогнозних значень пояснюючих змінних

де - прогнозні значення пояснюючих змінних. Тоді можна отримати два види прогнозу стосовно залежної змінної економетричної моделі: точковий та інтервальний.

Точковий прогноз представляє собою точкову оцінку математичного сподівання залежної змінної моделі і дає можливість обчислити наближене середнє прогнозне значення залежної змінної. Точкове прогнозне значення обчислюється на основі оціненого рівняння регресії за наступною залежністю:

де - транспонований вектор прогнозних значень пояснюючих змінних моделі, В – вектор оцінок параметрів моделі.

Інтервальний прогноз дає можливість визначити точні (у статистичному розумінні) прогнозні значення залежної змінної. Цей вид прогнозу представляє собою по суті інтервальну оцінку дійсних прогнозних значень залежної змінної – тобто інтервал, у який з певною заданою ймовірністю потрапляє дійсне значення залежної змінної. В економетричних дослідженнях використовуються два види інтервального прогнозу:

· інтервальний прогноз для математичного сподівання залежної змінної;

· інтервальний прогноз для індивідуального значення залежної змінної.

Інтервальний прогноз для математичного сподівання залежної змінної визначає інтервал, у який з наперед заданою ймовірністю попадає середнє значення залежної змінної у генеральній сукупності. Верхня і нижня межа цього прогнозного інтервалу визначається за наступною залежністю:

Інтервальний прогноз для індивідуального значення залежної змінної визначає інтервал, у який з наперед заданою ймовірністю попадає індивідуальне (окреме) значення залежної змінної у генеральній сукупності. Верхня і нижня межа цього прогнозного інтервалу визначається за наступною залежністю:

де - точкове прогнозне значення, - стандартна похибка рівняння регресії, - критичне (табличне) значення критерію Ст’юдента для рівня значимості α і ступеня вільності , яке приймається таким же,як і при перевірці статистичної значимості параметрів моделі і побудові їх інтервалів довіри.

Ймовірність p з якою будуються інтервальні прогнози для залежної змінної називається, як і при побудові інтервалів довіри для параметрів моделі, довірчою (або рівнем довіри) і пов’язана з рівнем значимості α відомою залежністю.

У випадкупарної лінійноїрегресії прогнозні значення залежної змінною можуть бути обчислені за більш простими залежностями:

При статистичній обробці даних часто вимагається не тільки знайти для параметра а відповідне числове значення, а й оцінити його надійність і точність. Ця задача важлива при малій кількості спостережень, оскільки точкова оцінка в значній мірі є випадковою і наближена заміна а на може призвести до серйозних похибок.

Для визначення точності оцінки в математиці користуються довірчими інтервалами, а для визначення надійності – довірчою імовірністю. Розкриємо суть цих понять. Нехай для параметра а отримана з випробування незміщена оцінка . Потрібно оцінити можливу при цьому помилку. Задаємо деяку вірогідність β (наприклад β =0,9) і знайдемо таке значення ξ>0, для якого . Або ще можна записати так: . Остання рівність означає, що невідоме значення параметра а з імовірністю β потрапить в інтервал . Тут невідоме значення параметра а є невипадковою величиною, а інтервал є випадковою величиною, оскільки положення інтервалу на осі залежить від випадкової величини (центр інтервалу). Тому вказана вище імовірність трактується як імовірність того, що випадковий інтервал накриє точку а.

Інтервал називається довірчим інтервалом, а імовірність β – довірчою імовірністю або надійністю β, щовідповідає даному довірчому інтервалу .

Розглянемо задачу про довірчий інтервал для математичного сподівання.

Нехай проведено n незалежних випробувань над випадковою величиною ξ з невідомим математичним очікуванням Мξ і дисперсією Dξ _. На основі дослідних даних отримаємо незміщені оцінки:

Потрібно побудувати довірчий інтервал , який відповідає довірчій імовірності β для математичного сподівання випадкової величини ξ. Оскільки являє собою суму n незалежних однаково розподілених величин ξ_і, то, згідно з центральною граничною теоремою, її закон розподілення близький до формального. Користуючись властивостями математичного сподівання і дисперсій:

Тепер знайдемо : . Враховуючи те, що закон розподілу випадкової величини близький до нормального, виразимо ймовірність β в лівій частині через функцію Ф:

З останнього рівняння

Де ‑ функція, обернена до Ф, виражається через невідому нам дисперсію Dξ, тому за її значення можна взяти оцінку і подати приблизно . Таким чином, довірчий інтервал для математичного сподівання , де визначається з попередньої формули [4, С. 99].