Анализ экспериментов для смесей

Анализ экспериментов для смесей похож на множественную регрессию со свободным членом, равным нулю. Как объяснялось ранее, основное ограничение: сумма всех компонент должна быть постоянной – может быть реализовано в подгонке модели множественной регрессии, не включающей свободный член.

Специальные модели, рассматриваемые обычно, описаны ранее. Суммируя это описание, отметим, что к значениям зависимой переменной подгоняется поверхность отклика возрастающей сложности, начиная с линейной модели, затем продолжая квадратичной моделью, специальной кубической моделью и, наконец, завершая полной кубической моделью. Ниже приведена таблица, показывающая число членов или параметров в каждой модели для некоторого числа компонент:

Таблица 3.11.

Анализ экспериментов для смесей

Планы для поверхностей и смесей с ограничениями

Как уже говорилось при обсуждении планов для смесей, на интересующие нас экспериментальные области могут быть наложены ограничения. Учёные Пипель и Сни предложили алгоритм для нахождения вершин и центроидов в областях с ограничениями.

Когда в эксперименте со многими факторами имеются ограничения на значения факторов и их комбинаций, не ясно, как подойти к решению такой задачи. Разумный подход состоит в включении в эксперимент экстремальных вершинных точек (extreme vertices) и центроидов ограниченной области, которые обычно образуют хорошее ее покрытие. В самом деле, планы для смесей, рассмотренные в предыдущем разделе, дают примеры таких планов, поскольку они обычно строятся так, чтобы включать в эксперимент вершины и центры ограниченной области, содержащейся в треугольнике (симплексе).

Обычный способ задания большинства ограничений состоит в применении линейных неравенств:

A₁x₁ + A₂x₂ +... + A_qx_q + A₀ ≥ 0

Здесь A₀,.., A_q являются параметрами линейного ограничения, наложенного на q факторов, а x₁,.., x_q обозначают значения факторов (уровни) для q факторов. Эта общая формула может описать даже очень сложные ограничения. Например, предположим, что в двухфакторном эксперименте первый фактор всегда должен быть установлен на уровнях по крайней мере в два раза больших второго фактора, что может быть записано в виде: x₁ ≥ 2·x₂. Это простое ограничение далее может быть переписано как: x₁-2·x₂ ≥ 0. Ограничение в виде отношения 2·x₁ /x₂ ≥ 1 может быть записано в виде 2·x₁ - x₂ ≥ 0 и так далее.

Например, предположим, что в 3-х компонентной смеси фруктовых соков ограничения сверху и снизу на компоненты таковы:

40% ≤ Дыня (x₁) ≤ 80%
10% ≤ Ананас (x₂) ≤ 50%
10% ≤ Апельсин (x₃) ≤ 30%

Эти ограничения могут быть переписаны как линейные ограничения в виде:

Дыня:	x1-40≥0 -x1+80≥0
Ананас:	x2-10≥0 -x2+50≥0
Апельсин:	x3-10≥0 -x3+30≥0

Таким образом, проблема нахождения точек плана для экспериментов на смесях с компонентами, на которые наложено несколько ограничений сверху и снизу, является частным случаем общих линейных ограничений.

Для специального случая смесей с ограничениями часто используются алгоритмы типа XVERT для того чтобы найти вершинные и центроидные точки для ограниченных областей (внутри треугольника, тетраэдра). Пипелем и Сни был предложен общий алгоритм для нахождения вершин и центров тяжести (центроидов) и приложимый как к смесям, так и к несмесям.

А именно, программа рассматривает ограничения, записанные с помощью линейных неравенств, как это было описано выше, одно за другим. Каждое ограничение описывает прямую (или гиперплоскость), проходящую в экспериментальной области. Для каждого последовательного ограничения программа оценивает, пересекает ли она текущую ограниченную область. Если это так, вычисляются новые вершины, определяющие новую экспериментальную область, подправленную с учетом последнего ограничения. Затем проверяется, не становятся ли предыдущие ограничения излишними, то есть определяют прямую или плоскость, целиком находящуюся вне рассматриваемой области. После того как обработаны все ограничения, программа вычисляет центроиды для сторон ограниченной области (упорядоченные по запросу пользователя). В двумерном (двухфакторном) случае можно легко воссоздать этот процесс, просто проводя прямые через экспериментальную область (по одной на ограничение), так что получится искомая область.

Рис. 3.4. Планы с экстремальными вершинными точками

Как только вершины и центры вычислены, вы сталкиваетесь с проблемой выбора подмножества точек для эксперимента. Если каждый его опыт дорогостоящ, то не разумно использовать все вершины и центроиды. В частности, если имеется много факторов и ограничений, то число центроидов может расти очень быстро.

Анализ планов для поверхностей и смесей с ограничениями

Как уже отмечалось в разделах о центральных композиционных планах и планах для смесей, если точки в ограниченной области выбраны для окончательного эксперимента, и интересующие нас значения зависимых переменных получены, анализ проводится стандартным образом.

Например, рассмотрим эксперимент с тремя пластификаторами и их воздействие на толщину винилового покрытия автомобильных сидений. Производственные ограничения на три компоненты пластификатора x₁, x₂ и x₃ следующие:

0.409 ≤ x1 ≤ 0.849
0.000 ≤ x2 ≤ 0.252
0.151 ≤ x3 ≤ 0.274

(Заметим, что эти значения уже стандартизованы, так что их сумма для каждой смеси должна быть равна 1). Построенные вершины и центроидные точки таковы:

Таблица 3.12.

План для смесей с ограничениями

3.1.4. Методы Тагучи: робастное планирование эксперимента

Методы Тагучи позволяют оценивать показатели качества продукции и определять потери качества, которые по мере отклонения текущих значений параметра от номинального, увеличиваются, в том числе и в пределах допуска.

Методы Тагучи используют новую систему назначения допусков и вводят управление по отклонениям от номинального значения с использованием упрощенных методов статистической обработки.

Качество продукции не может быть улучшено до тех пор, пока не будут определены и измерены показатели качества. В основе введенного Г. Тагучи трехстадийного подхода к установлению номинальных значений параметров продукции и процесса, а также допусков на них, лежит понятие об идеальности целевой функции объекта, с которой сравниваются функциональные возможности реального объекта. На основе методов Тагучи вычисляют разницу между идеальным и реальным объектами и стремятся сократить ее до минимума, обеспечивая тем самым улучшение качества.

Согласно традиционной точке зрения все значения в пределах допусков одинаково хороши. Г. Тагучи считает, что каждый раз при отклонении характеристики от целевого значения, происходят некоторые потери. Чем больше отклонение, тем большие потери.

Рис. 3.5. Традиционная точка зрения на потери

Рис. 3.6. Точка зрения Тагучи на потери

Г. Тагучи предложил разделять переменные, влияющие на рабочие характеристики продукции и процесса, на две группы так, чтобы в одной из них оказались факторы, ответственные за основной отклик (номинал), а во второй - ответственные за разброс. Для выявления этих групп Г. Тагучи вводит новый обобщенный отклик - "отношение сигнал/шум" (С/Ш).

Задача заключается в том, чтобы уменьшить чувствительность продукции и процессов к неконтролируемым факторам, или шумам.

Концепция Тагучи включает принцип робастного (устойчивого) проектирования и функцию потерь качества. Функция потерь по Тагучи различает изделия внутри допуска в зависимости от их близости к номиналу (целевому значению). Технологической основой робастного проектирования служит планирование эксперимента.

Управление качеством в полном смысле этого слова возможно через минимизацию вариаций или способность спроектировать систему нечувствительной к вариациям (робастной) при уменьшении стоимости.

Вариабельность противодействует полезным усилиям разработчиков и определяется наличием шумовых факторов, которых выделяют три типа: внешние, разброс от образца к образцу, внутренние факторы за счет старения и деградации.

Шумы трудно убрать, но можно уменьшить их влияние на качество. Эта проблема решается путем робастного проектирования на всех стадиях жизненного цикла технических изделий:

• исследование (процесс проектирования робастных технологий);

• разработка продукции (методы нечувствительности к ШФ)

• выпуск опытных образцов (оптимизация стоимости качества);

• производство, сервис (стабилизация характеристик относительно целевых значений).

Применение робастного проектирования определяет качество разработчика (offline – качество), которое осуществляется в три этапа, представленных в таблице 3.13.

Таблица 3.13.

Этапы offline-качества

Название этапа	Действие
Концептуальное проектирование	Выбор наилучшего варианта
Параметрическое проектирование	Оптимизация выбранного варианта по отношению шумовых факторов
Планирование допусков	Распределение допусков на выбранные параметры

Существует известный принцип, что при отклонении конкретной характеристики от установленной в спецификации цели потребитель несет потери, возрастающие квадратично (а не линейно) с увеличением этого отклонения. Эта концепция, предложенная Тагучи, называемая функцией потерь качества (ФПК), подразумевает, что конструкторское намерение (установленная цель) достаточно хорошо согласуется с запросами потребителей.

Такое мышление проектировщиков называют «Мышлением через ФПК». Наложение распределений процессов на кривую ФПК показывает, что для минимизации потерь потребителя желательно настроить процесс (его центр) на требование потребителя (цель спецификации), а затем уменьшить изменчивость процесса около целевого значения непрерывно снижать.

Такой анализ называют настройкой «голоса потребителя». Он подтверждает, что при «менталитете ворот» 45 % полных потерь потребителя вызваны частями, находящимися вне поля допуска спецификации, что означает непонимание эффекта такого процесса для потребителей. ФПК оказывается полезной на стадии определения допусков и количественной оценки продукции.

А вот на стадии параметрического проектирования очень полезным является еще одна функция Тагучи – отношение С/Ш. Это отношение выражается через основу ФПК – среднее квадратическое отклонение от цели. ФПК вместе с отношением С/Ш позволяет решить большинство задач робастного проектирования.

Отношение С/Ш – идеальная метрика со следующими свойствами: оно отражает вариабельность в отклике системы, вызванной шумами, оно не зависит от регулировки среднего, оно измеряет относительное значение качества, что удобно для сравнения, оно не учитывает необязательные составляющие, таки например, как взаимодействие управляющих факторов.

Отношение С/Ш зависит от цели: цель номинальное значение (ЦНЗ), цель меньшее значение (ЦМЗ), цель большее значение (ЦБЗ), таблица 3.13.

Таблица 3.13.

Виды отношения сигнал/шум

Для ЦНЗ	Для ЦМЗ	Для ЦБЗ

ЦНЗ предполагает двух шаговую оптимизацию:

• максимизацию С/Ш за счет минимизации чувствительности к ШФ;

• регулировку среднего значения к целевому номиналу.

Первостепенная задача робастного проектирования – определится с управляющими факторами, шумовыми факторами, а затем определить параметры планирования эксперимента: объем проводимых опытов, количество уровней изменения факторов.

Выбор характеристик и факторов (табл. 3.14) – это важнейшая процедура, которая целиком и полностью зависит от компетентности команды проектировщиков.

Характеристика качества должна быть непрерывной, аддитивной, комплектной и фундаментальной величиной. Характеристик качества может быть несколько, тогда робастное проектирование проводится для каждой в отдельности.

Таблица 3.14.

Требования к факторам проектирования

Факторы	Условия и требования
Характерис-тики качества (отклик)	1. Должна быть непрерывна, легко измерима и количественно исчисленной. 2. Должна иметь абсолютный нуль (отсутствие отрицательных значений). 3. Должна быть аддитивной, в крайнем случае монотонной (независимость компонентов). 4. Комплектность (обеспечение всей информации). 5. Фундаментальность (отсутствие смещения разных физических процессов и реакции на внешние возмущения после проведения оптимизации).
Шумовые факторы ШФ (шумовой эксперимент)	1. Ошибки эксперимента и наведенные шумы (измерения, деталировка уровня фактора, неучитываемые шумовые факторы, взаимосвязи, ошибки оператора). Оцениваются дисперсией. 2. Внешние шумы, не зависящие от экспериментатора. 3. Внутренние шумы, зависящие от изменений образов. 4. Объединенные шумовые факторы по возрастанию и убыванию влияния на отклик.
Управляющие факторы (УФ)	1. Технические параметры, обеспечивающие аддитивность и надежность системы. 2. Регулирующие факторы, позволяющие сместить систему к целевому значению. 3. Группировка управляющих факторов, объединяющие вместе факторы, имеющие одинаковые влияния. 4. Факторы, не влияющие на уменьшение робастности.

Шумовые и управляющие факторы определяются путем лабораторных испытаний. Из управляющих факторов выделяется регулирующие факторы, при этом используется отношение С/Ш. После выбора факторов приступают к основному эксперименту, который позволяет определить оптимальные уровни и предсказать оптимальные характеристики.

Оптимальное проектирование (оптимизация параметров) называют техникой качества проектировщиков, смысл которого состоит в максимизации прогнозируемого качества и минимизации непрогнозируемой части, рис. 3.7.

Рис. 3.7. Оптимальное проектирование

Y = f (x, M, Z, R) = g (M, Z, R) + e (x, M, Z, R),

где g(M,Z,R) – прогнозируемое качество (max); e(x,M,Z,R) – непрогнозируемая часть (min). Ортогональные матрицы в робастном проектировании используют насыщенные планы со слабым взаимодействием. Пересечение внутренней (для УФ) и внешней (для ШФ) матриц (две или более комбинации шумов) позволяет определить влияния факторов на характеристику качества, оценить С/Ш, упростить анализ и представление данных, повышает эффективность проведения эксперимента всей командой.

• уточнить взаимозависимость между УФ и ШФ с целью определения влияния на отклик;

• управляемость ШФ и внешнее отношение системе позволяет точнее оценить возможность достижения робастности и возможности регулируемости УФ;

• определить влияния факторов на характеристика качества, оценить С/Ш, упростить анализ и представление данных, повышает эффективность проведения эксперимента всей командой.

Отношение С/Ш находится для каждой строки данных, оно позволяет проводить сравнение разных альтернатив, таблица 3.15.

Таблица 3.15.

Пересечение матриц для параметрической оптимизации

Пересечение внутренней и внешней матриц позволяет провести анализ и получить ответ на три главных вопроса:

1. Какой фактор и на каком уровне максимизирует отношение С/Ш?

2. Какие факторы оказывают малое влияние на отношение С/Ш?

3. Воздействует ли какой-то фактор на среднее значение?

Эти ответы представляются либо в виде таблицы или графика, что дает команде проектировщиков прекрасный ориентир для принятия решений.

После этого проводятся верификационные испытания с целью обоснованности нахождения оптимальной комбинации УФ, т. е. того, что оптимум предсказуем, повторяем и подтверждаем. Эти испытания позволяют сделать вывод, что правильно выбраны ШФ, УФ, характеристики качества. При этом нельзя забывать, что ни что не может заменить инженерный анализ. Применение отношения С/Ш является идеальным инструментом инженерного качества и средством принятия правильных решений.

Проектирование допусков достигается путем оценки влияния величин факторов на изменение характеристик качества, интересующей исследователя. Если вариабельность факторов уменьшается (качество возрастает) за реальную цену, тогда и улучшение показателей качества позволяет понизить величину ФПК. Суммарное отклонение от номинала или целевого значения, можно представить в виде суммы отклонений всех исследуемых параметров или УФ, влияющих на изменение характеристик качества.

Использование пакета Minitab для планирования и анализа экспериментов

В программе Minitab используются четыре типа планируемых экспериментов: факторный эксперимент, исследование поверхности отклика, смешанный эксперимент и план Тагучи (устойчивое планирование). Действия для создания, анализа и построения графиков в ходе планирования эксперимента в программе Minitab одинаковы для всех типов планов. После того будет проведен эксперимент введены результаты, программа Minitab предоставит ряд аналитических и графических инструментов, которые помогут интерпретировать результаты.

Задача 1. Руководством дилерско-сервисного центра КАМАЗ установлена новая стратегическая цель: снизить время обслуживания клиентов автоцентра за счёт оптимизации сервисной зоны. Проведя оценку многих потенциально важных факторов, аналитики отдела планирования сервиса решили подробно исследовать два из них: количество постов обслуживания (Х₁) и количество рабочих сервисной зоны (Х₂). Необходимо определить, какая комбинация исходных факторов приведет к снижению стратегического показателя эффективности сервисной зоны – среднего времени обслуживания клиента (Y).

Решение задачи. Прежде чем вводить и анализировать данные измерений в программе Minitab, необходимо создать план эксперимента и сохранить его в рабочем листе. Исходя из требований конкретного эксперимента, можно выбрать один из множества имеющихся планов. Когда будет выбран план и указаны его характеристики, программа Minitab автоматически создаст план и сохранит его в рабочем листе.

Нам необходимо создать факторный план, чтобы исследовать отношение между двумя факторами – количеством постов обслуживания (X₁) и количеством рабочих сервисной зоны – и средним временем обслуживания клиента (Y). Для того, чтобы составить план полного факторного эксперимента 2², необходимо выбрать команду Stat – DOE – Factorial – Create Factorial Design…. В появившемся окне необходимо выбрать тип плана – Type of design (выберем 2-level factorial (default generators)), количество факторов – Number of factors (выберем 2).

При создании плана в программе Minitab изначально активны только две кнопки: Display Available Designs (показать доступные планы) и Designs (планы). Остальные кнопки станут активными после заполнения полей в диалоговом окне Designs (планы). Нажмите кнопку Display Available Designs (показать доступные планы). Для большинства типов планов программа Minitab в диалоговом окне Display Available Designs (показать доступные планы) отобразит все возможные планы и необходимое число испытаний. Нажмите кнопку ОК, чтобы вернуться в основное диалоговое окно.

Нажмите кнопку Designs (планы). В верхнем окне перечислены все доступные планы для выбранного типа плана и числа факторов. Мы создаем факторный план с двумя факторами, поэтому доступен только один вариант: полный факторный план с четырьмя испытаниями. В двухуровневом плане с двумя факторами возможно 2², то есть четыре комбинации факторов.

В поле Number of replicates for corner points (число повторов для угловых точек) выберите 3. Это означает, что в исследуемых крайних точках функции отклика мы проводим один и тот же эксперимент 3 раза, при этом подразумевается, что получаемое каждый раз значение функции будет отличаться от предыдущего. Нажмите кнопку OK, чтобы вернуться в основное диалоговое окно. Обратите внимание, что остальные кнопки стали активными.

Нажмите кнопку Factors (факторы). Minitab использует те имена и уровни факторов, которые вы введете в рабочем листе. Те же имена используются в качестве меток факторов в результатах анализа и на графиках. Если не ввести уровни факторов, программа Minitab установит –1 в качестве нижнего уровня и 1 в качестве верхнего. Чтобы изменить имя первого фактора, щелкните верхнюю ячейку в столбце Name (имя). Затем для перемещения по таблице используйте клавиши со стрелками. Перемещаться можно вдоль строк и столбцов. Введите следующее:

В строке Factor A (фактор A) введите X1 (количество постов обслуживания) в столбце Name (имя), 3 в столбце Low (нижний) и 10 в столбце High (верхний). В столбце Type (тип) выберите Numeric (числовой).

В строке Factor B (фактор B) введите Х2 (количество рабочих сервисной зоны) в столбце Name (имя), 5 в столбце Low (нижний) и 15 в столбце High (верхний). В столбце Type (тип) выберите Numeric (числовой). Нажмите кнопку OK, чтобы вернуться в основное диалоговое окно.

Рис. 3.8. Создание плана полнофакторного эксперимента

Нажмите кнопку Options (параметры). Проверьте, что флажки Randomize runs и Store design in worksheet (сохранить план в рабочем листе) установлены. Нажмите кнопку OK в каждом диалоговом окне (рис. 3.1).

По умолчанию программа Minitab расставляет испытания в случайном порядке для планов всех типов, за исключением планов Тагучи. Рандомизация позволяет гарантировать соответствие модели определенным статистическим утверждениям и снизить влияние факторов, не включенных в исследование. Если установить базу для рандомизатора данных (поле Base for random data generator), каждый раз при создании плана испытания будут расставляться в одном и том же порядке.

Когда создается план, программа Minitab сохраняет информацию о плане и факторах в столбцах рабочего листа. Откройте окно данных, чтобы познакомиться со структурой плана (рис. 3.2).

Рис. 3.9. План эксперимента, построенный в Minitab

В столбце RunOrder (порядок наблюдений, C2), значения в котором расставляются случайным образом, указан порядок сбора данных. Если план не рандомизован, значения в столбцах StdOrder (стандартный порядок) и RunOrder (порядок наблюдений) совпадают.

Примечания

Меню Stat – DOE – Display Design можно использовать для переключения между стандартным и рандомизованным порядком, а также между кодированным и некодированным отображением в рабочем листе.

Чтобы изменить параметры или имена факторов, воспользуйтесь меню Stat – DOE – Modify Design. Если нужно изменить только имена факторов, их можно вписать непосредственно в окне данных.

После проведения эксперимента и сбора данных, можно ввести их в рабочий лист. Измеряемая характеристика называется откликом. В нашем примере измеряется количество часов, проведенное клиентом в ожидании обслуживания. В результате выполнения эксперимента на имитационной модели получены следующие данные:

Рис. 3.10. Результат выполнения экспериментов на имитационной модели

В окне данных Minitab щелкните ячейку с именем столбца C7 и введите Y. Введите значения, полученные в ходе наблюдений в столбце Y в окне данных с учётом того, что результаты наблюдений в данном листе рандомизированы.

Данные можно вводить во все столбцы, кроме тех, что содержат сведения о плане. Кроме того, для одного эксперимента можно ввести несколько откликов, каждый в своем столбце.

Итак, мы создали план и собрали данные отклика. Теперь мы можем подобрать модель данных и построить графики, чтобы оценить влияние факторов. Результаты подборки модели и построения графиков помогут определить, какие факторы являются важными для сокращения среднего времени обслуживания клиента.

Когда факторный план создан и сохранен, программа Minitab делает активными команды Analyze Factorial Design (анализ факторного плана) и Factorial Plots (факторные графики) в меню DOE – Factorial. Теперь можно построить модель или построить графики — все зависит от того, с каким планом мы работаем. В нашем примере мы сначала построим модель (рис. 3.3).

Выберите пункт меню Stat – DOE – Factorial – Analyze Factorial Design…. В поле Responses (отклики) введите Y. Столбец откликов необходимо указать прежде, чем открывать дополнительные диалоговые окна.

Нажмите кнопку Terms (условия). Проверьте, указано ли A:X1, B:X2 и AB в поле Selected Terms (выбранные условия). При анализе плана обязательно воспользуйтесь диалоговым окном Terms (условия) для того, чтобы выбрать условия, которые будут включены в модель. Факторы и взаимодействия можно добавлять и удалять при помощи кнопок со стрелками. При помощи флажков можно включить в модель блоки и центральные точки. Нажмите кнопку ОК.

Нажмите кнопку Graphs (графики). В части Effects Plots (графики влияний) установите флажки Normal (нормальный) и Pareto (Парето). Графики влияний можно построить только для факторного плана. Графики остатков (Residual Plots), полезные при проверке предположений о модели, можно построить для планов любого типа. Нажмите кнопку OK в каждом диалоговом окне.

Рис. 3.11. Анализ плана экспериментов

И данные в окне сеанса, и оба графика влияния можно использовать для определения того, какие влияния являются важными для процесса. Сначала исследуем данные в окне Session (Сеанс):