Законы распределения случайных величин

Определение.Функцией распределения случайной величины X называется функция F (x), зависящая от х Î R и принимающая значение, равное вероятности события w, что X < x, т.е.

F (x) = P {w: X (w) < x } = P (X < x).

Из определения следует, что любая случайная величина имеет функцию распределения. Геометрический смысл функции распределения в том, что она определяет вероятность того, что значение случайной величины Х попадет левее точки х.

Основные свойства функции распределения:

1. Функция распределения принимает значения из промежутка [0,1], т.е.

0 ≤ F (x) ≤ 1;

2. Если х₂ > х₁, то

P (x ₁ ≤ X < x ₂ ) = F (x ₂) – F (x ₁);

Определение. Функция p (х) = называется плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины.

Плотностью распределения может быть любая неотрицательная функция, интеграл от которой по всей числовой прямой равен 1, т.е.

.

Если известна плотность распределения случайной величины, то можно найти вероятность того, что значение случайной величины будет заключено в интервале [ х₁, х₂) по формуле

.

Пример. 5.6. Задана плотность распределения случайной величины Х:

Найти параметр с, интегральную и дифференциальную функцию распределения.

Решение. Воспользуемся свойством, что

Тогда c= 2 и

если х < 1, то

если 1 ≤ х ≤ 2, то ;

если х > 2, то ,

тогда

Равномерное распределение. Непрерывная случайная величина Х, принимающая значение на отрезке [ a, b ], имеет равномерное распределение, если плотность распределения имеет вид

.

Пример 5.8. Как правило, у школьников на решение задач ЕГЭ по математике из группы В уходит от 1 до 2,5 часов. Найти вероятность того, что произвольно выбранный школьник решит эти задачи не более чем за 1,5 часа, не менее чем за 2 часа, в предположении, что длительность решения задач имеет равномерное распределение.

Решение. Очевидно, что, а = 1, b = 2,5.Событие, что время решения задач менее 1,5 часа, означает, что 1 ≤ X ≤ 1,5. Воспользуемся формулой

= (1,5–1)= = .

Событие, что время решения задач не менее 2 часов, означает, что

2 ≤ X≤ 2,5, тогда

= =

Экспоненциальное распределение. Непрерывная случайная величина Х, принимающая неотрицательные значения, имеет экспоненциальное распределение с параметром l, если плотность распределения имеет следующий вид:

Пример 5.11. Не секрет, что школьники иногда опаздывают на первый урок. Учитель математики провел исследование и пришел к выводу, что время опоздания имеет экспоненциальное распределение с λ = 0,2. Найдем вероятности того, что школьник опоздает менее чем на 3 мин.; время опоздания будет заключено в пределах от 3 до 6 мин.; в пределах от 6 до 9 мин и, наконец, опоздает не более, чем на 15 мин.

Решение. Очевидно, что

P (x £ 3) = F (3) = 1 – e^-0,2·3 = 0,4511.

P (3 £ x £ 6) = F (6) – F (3) = e^-0,2·3 – e^-0,2·6 = 0,6988 – 0,45110 = 0,2477.

P (6 £ x £ 9) = F (9) – F (6) = e^-0,2·6 – e^-0,2·9 = 0,8347 – 0,6988 = 0,1359.

P (x £ 15) = F (15) =1 – e^-0,2·15 = 0,95.

Нормальное распределение. Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами s, если плотность распределения р (х) имеет вид

, s>0.

Пример 5.15. Текущая цена акции (ден. ед.) имеет распределение, близкое к нормальному закону с параметрами: а = 17 и s = 2,5.

Найти вероятность того, что цена акции будет не выше чем 15, не ниже чем 19, от 14 до 19 (ден. ед.).

Решение.

.

.