Формула полной вероятности

Следствием правил сложения и умножения вероятностей являются формулы полной вероятности и Байеса.

Пусть событие В может осуществиться только с одним из событий А₁,А₂,… А_n, которые образуют полную группу, т.е. они несовместны и

.

Как правило, заранее неизвестно, какое из событий А_i может произойти, поэтому их называют гипотезами. Предположим, что известны вероятности гипотез Р (А₁), Р (А₂),… Р (А_n) и условные вероятности того, что произойдет событие В, при наступлении гипотез – Р (В/А₁), Р (В/А₂), …, Р (В/А_n). Так как заранее неизвестно, с каким из событий A _i произойдет событие В, то события A _i называют гипотезами. Тогда вероятность наступления события В определяется как сумма произведений безусловных вероятностей наступления гипотез А_i на условные вероятности наступления события B, т.е.

Р (В) = Р (А₁) Р (В/А₁) + Р (А₂) Р (В/А₂) +…+ Р (А_n) Р (В/А_n).

Эта вероятность называется полной вероятностью, так как определяет вероятность наступления события В, если произойдет любое из гипотетических событий А_i.

Пример 3.25. В специализированной спортивной школе три класса, специализирующихся на игровых видах спорта – баскетбол, волейбол, ручной мяч. В зависимости от физических данных, как правило, 50% школьников попадают в класс ручного мяча, 30% – в класс волейбола и оставшиеся 20% – в класс баскетбола. Вероятности того, что после окончания школы выпускники продолжат образование в высшем учебном заведении физической культуры, равны соответственно 0,9; 0,6; 0,7. Найдем вероятность того, что произвольно взятый школьник из спортивной школы поступит в спортивный вуз.

Решение. Легко видеть, чтогипотезами А₁, А₂, А₃ являются события, означающие, что школьник окажется в том или ином классе. Следовательно, Р (А₁) = 0,5; Р (А₂) = 0,3; Р (А₃) = 0,2. Обратите внимание, что гипотезы являются несовместными событиями, так как школьник может попасть только в один класс, и сумма вероятностей гипотез равна 1. Вероятности того, что школьник поступит в спортивный вуз в зависимости от того, в каком классе обучался, являются условными вероятностями и Р (В/А₁) = 0,9; Р (В/А₂) = 0,6; Р (В/А₃) = 0,7. Далее, нам осталось в соответствии с формулой полной вероятности произвести арифметические операции сложения и умножения:

Р(В) = Р (А₁) Р (В/А₁) + Р (А₂) Р (В/А₂) + Р (А₃) Р (В/А₃) =

= 0,5·0,9 + 0,3·0,6 + 0,2·0,7 = 0,77

Таким образом, мы посчитали, что вероятность выпускника специализированной спортивной школы поступить в спортивный вуз равна 0,77. Это означает, что в среднем 77% выпускников школы имеют возможность продолжить свое спортивной образование в вузе.

Пример 3.26. На международную студенческую научную конференцию приезжает 70% студентов из университетов России, а 30% - из ближнего зарубежья. Из практики известно, что из приехавших с российских университетов студентов, 40% планируют выступить на конференции, а с зарубежных университетов только – 25%. Найти вероятность того, что вошедший в зал делегат окажется выступающим.

Решение. Обозначим события: А₁ –студент из российского университета, А₂ – студент из ближнего зарубежья, тогда Р (А₁) = 0,7, Р (А₂) = 0,3. События А₁ и А₂ не могут произойти одновременно (несовместные), сумма вероятностей этих событий равна 1, следовательно, они образуют полную группу. Обозначим событие В – вошедший в зал делегат планирует выступить. Это событие может произойти одновременно с событиями А₁ или А₂. По условию задачи условные вероятности события В равны Р (В/А₁) = 0,4; Р (В/А₂) = 0,25, тогда по формуле полной вероятности легко найти вероятность того, что вошедший в зал делегат окажется выступающим.

P (В) = P (A₁) P (В/A₁) + P (А₂) P (В/А₂) = 0,7× 0,4 + 0,3 × 0,25 = 0,355.

Пример 3.27. В супермаркет поступает мороженое от трех фирм. На долю первой, второй и третьей фирм приходится соответственно 50%, 30%, 20% общего объема поставок. Из практики известно, что 2% мороженного, поставляемого первой фирмой – бракованное, третьей – 0,5%. Вероятность того, что наудачу взятое мороженое из общей продукции – хорошего качества равна 0,986. Каков процент бракованной продукции у второй фирмы?

Решение. Обозначим события: А – мороженное, поступившее в супермаркет, произведено первой фирмой, вероятность этого события Р (А) = 50/100 = 0,5.

В – мороженное, поступившее в супермаркет, произведено второй фирмой, вероятность этого события Р (В) = 30/100 = 0,3.

С – мороженное, поступившее в супермаркет, произведено третьей фирмой, вероятность этого события Р (С) = 20/100 = 0,2.

Сумма вероятностей событий А, В и С равна 1. Никакие два из этих событий не могут произойти одновременно, поэтому эти события составляют полную группу несовместных событий.

Событие D – наудачу взятое мороженое из общей продукции – хорошего качества, происходит одновременно с одним из событий А, В или С. По условию Р (D) = 0,986.

Условные вероятности события D определяем как

P (D/A) = 1 – 0,02 = 0,98; P (D/C) = 1 – 0,005 = 0,995.

По формуле полной вероятности имеем

P (D) = P (A) P (D/A) + P (B) P (D/B) + P (C) P (D/C).

Выразим из этого уравнения P (B) Р (D/B):

P (B) Р (D/B) = 0,986–(0,5 × 0,98 + 0,2 × 0,995) = 0,986 – 0,689 = 0,297.

Следовательно, так как Р (В) = 0,3, получим уравнение

0,3× Р (D/B) = 0,297,

из которого легко найти Р (D/B) = 0,297/0,3 = 0,99 – вероятность, того, что мороженое хорошего качества произведено второй фирмой, а доля бракованного будет 1 – 0,99 = 0,01, т.е. 1% поставляемого второй фирмой мороженного является бракованным.