Розвۥязування квадратних рівнянь з від'ємним дискримінантом

В курсі алгебри розглядались квадратні рівняння:

aх² +bх + с = 0, a ≠0, з дійсними коефіцієнтами а, b, с (1)

Там було показано, що якщо дискримінант

D = b²-4ac рівняння (1) невід'ємний, то розв'язок такого рівняння знаходиться за формулою:

x = . (2)

У випадку, якщо D < 0, говорилось, що рівняння розв'язку не має.

Покажемо, що в множині комплексних чисел рівняння (1) має розв'язок і тоді, коли дискримінант рівняння від'ємний.

• В підручнику алгебри доводилось, що рівняння (1) рівносильне рівнянню

(3)

з якого при D > 0 і отримали формулу (2) для коренів квадратного рівняння.

Нехай D<0. Перетворимо рівняння (3) слідуючим чином:

,

і отримаємо

x= , x =

Отже, якщо дискримінант D від'ємний, квадратне рівняння (1) має два спряжених комплексних кореня:

x₁= , x₂ = (4)

Формули для коренів квадратного рівняння.

Зручно у випадку (якщо D<0) комплексне число позначати через

Наприклад: i =

Тоді для усіх випадків формула для коренів квадратного рівняння буде записуватися у вигляді (2). Таким чином, у множині комплексних чисел рівняння aх² +bх + с = 0, a ≠0,a,b,c R завжди має розв'язок.

Якщо D = b²-4ac =0, то рівняння має один корінь; якщо D ≠ 0, то рівняння має два кореня. У всіх випадках для коренів квадратного рівняння справедлива формула:

x = .

в якій, у випадку D < 0,під символом розуміється число