 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Перехід від алгебраїчної форми до тригонометричної і навпаки
|
|
z=a + b i, алгебраїчна форма запису комплексного числа.
z =r (cos φ + i sin φ), тригонометрична форма запису комплексного числа.
z = reiφ, показникова форма.
Покажемо як перетворити в тригонометричну форму комплексне число а + bi, подане в звичайній алгебраїчній формі.
Для цього треба знайти r i φ за даними a i b
Алгоритм переходу від алгебраїчної до тригонометричної форми запису комплексного числа:
1.Знайти модуль комплексного числа за формулою: r = 
.
2.Знайти tg φ1 допоміжного кута за формулою tg φ1 = 
, тоді сам кут буде дорівнювати φ1=arctg .
3.Зобразити комплексне число на координатній площині і визначити в якій чверті знаходиться кут φ.
4.Якщо кут φ у І чверті, то його значення буде дорівнювати φ= φ1;
якщо кут φ у І І чверті, то його значення буде дорівнювати φ= π - φ1;
якщо кут φ у І І І чверті, то його значення буде дорівнювати φ= π + φ1;
якщо кут φ у І V чверті, то його значення буде дорівнювати φ= 2 π - φ1.
| Кут в градусах | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° | 360° |
| Кут в радіанах | 
| 
| 
| 
| π | 
| 2π | |
| sin α | 
| 
| 
| - 1 | ||||
| cos α |
| 
|
| -1 | ||||
| tg α |
| 
| не існ. | не існ. | ||||
| ctgα | не існ. |
|
| не існ. | не існ. |
Приклад 1: Записати число z= 1+i тригонометричній формі.
Розв'язання: 
Так як a =1, b =1, то знайдемо модуль:
1. r = .
r = = 
= 
2. Знайдемо tg φ1 допоміжного кута, tg φ1 = ,
tg φ1 = 
=1→ φ1 =45˚
3.Зобразимо число z геометрично.
Ми бачимо,що числу z відповідає вектор, який розміщений в І чверті. Тому за аргумент (кут φ) приймаємо допоміжний кут φ1: φ= φ1= 45˚
4. Так як r = , φ =45˚ або φ = 
, то тригонометрична форма запису комплексного числа має такий вигляд:
z = 1 + i = (cos 45˚ + sin 45˚) або z = 1 + i = (cos 
+ sin 
)
Відповідь: z = (cos + sin ).
Приклад 2: Записати число z =- 2 + 2 i в тригонометричній формі.
Розв'язання:
a=-2, b=2 , тоді
1. r = 
= 
= 
=4.
2. tg φ1 = , tg φ1 = 
= → φ1 =60˚ = 
3. Зобразимо число z геометрично.
Ми бачимо,що числу z відповідає вектор, який розміщений в І І чверті. Тому
φ = π- φ1, φ =π- 60˚ = 180˚ - 60˚ =120˚, або φ =π- 
= 
4. z =- 2 + 2 i = 4(cos120˚ + sin120˚) або z =- 2 + 2i = 4(cos + sin )
Відповідь: z = 4(cos + sin ).
Щоб перейти від тригонометричної до алгебраїчної форми запису комплексного числа необхідно:
1)обчислити значення синуса, косинуса кута;
2) підставити їх в тригонометричну форму;
3) розкрити дужки.
При обчисленні значень синуса, косинуса кута застосовують формули зведення:
назва функції у формулі зведення не змінюється, якщо до аргументу додати або відняти кут π(180˚), 2π(360˚); і змінюється, якщо до аргументу додати або відняти кут 
(90˚), 
(270˚). Знак перед зведеною функцією співпадає зі знаком функції що зводиться, вважаючи кут гострим.
Приклад 3: Запишіть число z =4 (cos 
+i sin 
) в алгебраїчній формі.
Розв'язання:
φ = = 
=4·60˚ = 240˚
1. Обчислимо значення синуса і косинуса кута:
sin 240˚ = sin(180˚ + 60˚) =- sin 60˚ = - ;
cos 240˚ = cos(180˚ + 60˚) =- cos 60˚= - .
2. Підставимо ці значення в тригонометричну форму і розкриємо дужки:
z =4 (- +(- i ))= - 2- 2 i.
Відповідь: z = -2 - 2 i
Дата публикования: 2015-04-10; Прочитано: 8304 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
