Розв'язок

Нехай z = х + іу. Тоді дане рівняння запишеться у вигляді

(х + іу)² + = 0,

звідки

(х² - у² + )+ 2хуі = 0.

Комплексне число рівне нулю тоді і тільки тоді, коли його дійсна і уявна частини рівні нулю; тому для знаходження невідомих х і у отримаємо систему:

З цієї системи знаходимо: х=0 або у=0.

При х=0 перше рівняння системи запишеться у вигляді

- +𝗅 у 𝗅 = 0

або 𝗅 = 0. Звідси знаходимо 𝗅y𝗅 = 0 або 𝗅y𝗅 = 1

Таким чином, числа являються розв'язками даного рівняння.

При у=0 для знаходження х отримуємо рівняння x ² + 𝗅x𝗅 = 0.

Звідси слідує, що х=0, і тим самим z=0.

Таким чином, коренями даного рівняння являються числа

z_l =0,z₂ =i,z₃ =-і.

Відповідь: z_l =0,z₂ =i,z₃ =-і.

Завдання для самостійної роботи

1. Знайти усі значення .

2. Розв΄язати квадратне рівняння: 1) х² + 2х + 5 = 0,

2) х² - 6х + 18 = 0.

3. Знайти дійсні числа x і y із умови рівності двох комплексних чисел:

Тема: Розв‘язування вправ на обчислення визначників

План

1. Означення матриці, квадратної матриці другого та третього порядків.

2. Визначник другого порядку.

3. Визначник третього порядку.

4. Приклади розв‘язування вправ на обчислення визначників.

Література:

1. Алгебра и начала анализа. Часть 1. Под ред. Г.Н. Яковлева. – М.: Наука. 1987. Глава 3, § 11,12.

2. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика. – М.: Высш. шк., 1991. Глава 1, § 1,2.

Студенти повинні знати: означення матриці, квадратної матриці,порядок матриці, визначника другого та третього порядків, властивості визначників.

Студенти повинні вміти: обчислювати визначники другого та третього порядків, розв‘язувати вправи різних типів на обчислення визначників.

Матрицею називається множина чисел, що утворюють прямокутну таблицю, яка містить рядків та стовпців.

Для запису матриці використовують позначення:

.

Якщо кількість рядків матриці не дорівнює кількості стовпців , то матриця називається прямокутною.

Якщо ж кількість рядків рівна кількості стовпців , то матриця називається квадратною.

Кількість рядків або стовпців квадратної матриці називається її порядком.

Розглянемо матрицю порядку :

.

Діагональ, що містить елементи , називають головною, а діагональ, що містить елементи – побічною.

Нехай дано матрицю другого порядку: .

Визначником другого порядку даної матриці називається число

Нехай задано квадратну матрицю третього порядку:

.

Визначником третього порядку називається число:

і позначається .

Властивості визначників:

1. Визначник не зміниться, якщо в ньому рядки замінити стовпцями, а стовпці – на рядки.

2. Якщо у визначнику поміняти місцями рядки, то визначник змінить знак на протилежний.

3. Якщо всі елементи рядка мають спільний множник, то його можна винести за знак визначника.

4. Якщо всі елементи якогось рядка є сумою двох доданків, то визначник рівний сумі двох визначників, в одному з яких суми замінено їх першими доданками, а в другому – другими.

Наслідок 1. Визначник, у якого два будь-які рядки рівні, рівний 0.

Наслідок 2. Якщо у визначнику елементи одного рядка пропорційні елементам другого рядка, то визначник рівний 0.

Наслідок 3. Якщо до елементів будь-якого рядка відповідно додати елементи другого рядка або числа, їм пропорційні, то визначник не зміниться.

Приклади розв‘язування вправ

Вправа 1. Обчислити визначники другого порядку:

1)

2)

3)

Вправа 2. Розв‘язати рівняння.

1)

2)

Вправа 3. Обчислити визначники третього порядку.

1)

2)

Завдання для самостійного розв‘язування

1. Обчислити визначники:

a) ,

b) ,

c) ,

d) ,

e)

2. Розв‘язати рівняння:

a)

b)

c)

3. Довести, що:

Тема: Розв‘язування вправ по темі “ Елементи лінійної алгебри ”

План

1. Розв΄язування систем лінійних рівнянь методом Крамера.

2. Розв΄язування систем лінійних рівнянь методом Гаусса.

Література:

1. Алгебра и начала анализа. Под ред. Г.Н. Яковлева. – М.: Наука.1987

2. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика. – М.: Высш. шк.

Глава 1 §6 ст. 71-73.

3. В.М.Лейфура Математика

§10 ст. 291-295,

§11 ст. 295- 298.

Студенти повинні знати:

поняття матриці, визначника матриці другого і третього порядків, формули Крамера, метод Гауcса.

Студенти повинні вміти:

Обчислювати визначники матриць, розв‘язувати системи лінійних рівнянь за формулами Крамера та методом Гаусса.