А) Многокутником, кутом, колом, кругом

Вже в дочисловий період геометричні фігури – кружечки, квадрати, піраміди – виступають як лічильний матеріал.

Програмою 1-4 класів передбачено ознайомити учнів з геометричними формами не лише як з об'єктами лічби, але і як з геометричними об'єктами. Тобто для окремих геометричних фігур учні повинні знати їх елементи, деякі властивості, викреслювати їх на папері в клітинку і нелінованому папері, позначати їх буквеними символами, характеризувати певними величинами, знати способи знаходження цих величин.

Так, у 1 класі під час вивчення нумерації чисел першого десятка при ознайомленні з певною цифрою, учні дізнаються про форми окремих предметів навколишнього середовища: ті, що котяться і що не котяться.

Обстеження форми ведеться лабораторно-практичним методом на основі конкретних предметів. Наприклад: обстеження форм книжки.

Під час вивчення чисел, учнів ознайомлюють з конкретними геометричними фігурами. Так, при вивченні числа і цифри "3" діти дізнаються про трикутники та його елементи (в трикутнику три сторони, три кута і три вершини).

Аналогічно при вивченні чисел і цифр 4, 5 і 6, учні дізнаються про чотирикутники, п'ятикутники і шестикутники. Всі ці фігури об'єднуються терміном "многокутник".

Головне завдання навчальної роботи над геометричним матеріалом у початкових класах полягає в тому, щоб дати учням чіткі зорові геометричні образи прямої і її відрізків, кутів, фігур, геометричних тіл, розглянути деякі їх властивості і використати ці знання для озброєння учнів практичними навичками.

У процесі роботи над многокутниками учні дістають перші ві­домості про кути (кут утворюють дві сторони многокутника, що виходять з однієї його вершини), навчаються показувати ку­ти многокутника.

Далі у другому класі діти ознайомлюються з прямим кутом. Це можна здійснити так. Діти під керівництвом учителя виготов­ляють модель прямого кута: вони двічі перегинають навпіл аркуш паперу довільної форми і встановлюють, що утворені при цьому дві прямі лінії, які перетинаються, утворюють чотири одна­кових кути. Учитель повідомляє, що такі кути називають прямими. Потім діти накладанням установлюють, що, незважа­ючи на різні аркуші паперу, всі утворені прямі кути рівні. Користу­ючись моделлю прямого кута, учні знаходять прямі і непрямі кути на навколишніх предметах, зокрема на косинці. Потім, щоб установити вид кута, використовують прямий кут косинця (краще з прозорої пластмаси): якщо кути збігаються (тобто збігаються їхні сторони і вершини), то цей кут прямий, якщо не збігаються – кут не прямий. Для закріплення уявлення про пря­мий кут розглядають спеціальні вправи. Наприклад, серед різних даних кутів пропонують знайти прямі кути; в даних многокутниках знайти прямі кути; накреслити прямий кут у зошиті, використовуючи його клітинки; накреслити трикутник (чотирикутник), що має прямий кут, тощо.

Щоб у дітей сформувалося уявлення про кут разом з його внутрішньою областю, на перших порах використовують паперові моделі кутів. Але потім одночасно з паперовими моделями використовують модель "розсувного" кута (малку).

Поняття кута в учнів закріплюють у процесі дальшого вивчен­ня многокутників, наприклад під час розгляду прямокутника. Серед кількох чотирикутників першокласники за допомогою моделі прямого кута знаходять чотирикутник з одним-двома пря­мими кутами, а потім чотирикутники, в яких всі кути прямі. Учи­тель повідомляє, що в останньому випадку чотирикутники нази­вають прямокутниками. Учні знаходять у навколишній обстановці предмети прямокутної форми, показують прямокутники серед ін­ших геометричних фігур, накреслених на дошці чи виставлених на набірному полотні, вирізують їх з паперу в клітку, креслять за точками в зошитах і т.д. У процесі таких вправ у дітей форму­ється наочний образ прямокутника, запам'ятовується його назва.

На наступному етапі роботи учні 2 класу ознайомлюються з однією із властивостей прямокутника: протилежні сторони прямо­кутника рівні між собою. Уточнивши спочатку, чи розуміють діти, які сторони прямокутника можна назвати протилежними, учитель пропонує учням на паперових моделях прямокутника безпосеред­нім накладанням порівняти протилежні сторони. Вимірюючи про­тилежні сторони прямокутників, наведених у підручнику і на дошці, діти також підтверджують і узагальнюють свої спостере­ження. Знання цієї властивості сторін прямокутника закріплюють потім, коли учні креслять прямокутники за двома заданими його сторонами (довжиною і шириною). У 2-3 класах учні будують прямокутники за допомогою лінійки (креслять прямі кути, кори­стуючись клітинками в зошиті), а в 4 класі під час побудови прямокутника використовують лінійку і косинець.

Якщо учні 2 класу засвоять властивість протилежних сторін прямокутника, з множини прямокутників виділяють квадрати – прямокутники з однаковими сторонами.

Роботу на уроці організовують так, щоб учні побачили, що квадрат – це окремий випадок прямокутника. Дітям пропонують, наприклад, виміряти сторони кількох прямокутників, на­креслених на дошці або вирі­заних з паперу. Серед них є такі прямокутники, у кожного з яких сторони рівні між собою. Діти самі пригадують їхню назву – квадрати. Щоб підкреслити, що квадрати – це прямокутники з однаковими сторонами, розв'язують такі вправи: "Покажіть прямокутники, які не можна назвати квадрата­ми; знайдіть серед даних чотирикутників чотири прямокутники; зна­йдіть серед цих прямокутників два квадрати (рис. 6) і т.д.". У таких вправах діти повинні обґрунтувати свої міркування, пере­віривши за допомогою косинця, чи всі кути чотирикутника прямі, а за допомогою лінійки встановити, яке в них співвідношення сто­рін.

Рис. 6

Велике значення для закріплення уявлень про многокутники, а також для розвитку просторових уявлень у цілому мають задачі з геометричним змістом, які вводять система­тично, починаючи з 2 класу. Це задачі на поділ заданих фігур так, щоб утворені частини мали певну форму; задачі на скла­дання нових фігур з даних многокутників (тобто конструюван­ня цілого з частин), а також задачі на розпізнавання (виді­лення) всіляких геометричних фігур на заданому кресленні. Усі ці задачі взаємозв'язані одна з другою. Розв'язування задач кожного виду допомагає розв'язувати задачі інших видів. Тому їх вводять, чергуючи в певній системі, так що число частин фігур (з яких її складають або на які розчленовують), збільшується поступово.

У 2 класі в концентрі "Сотня" учні знайомляться з кругом, колом, його елементами, вчаться викреслювати коло за допомогою циркуля.

У 4 класі чотирирічної початкової школи відводиться спеціальний урок на ознайомлення учнів з елементами кола і круга.

Зіставивши кут з многокутником, учні встановлюють, що межею многокутника є замкнута лінія, а межею круга – замкнута крива лінія – коло.

Учитель повідомляє, що на малюнку зображено круг.

Лінія, яка є межею круга, називається колом. Точка О – цент кола, яка знаходиться на однаковій відстані від будь-якої точки кола. Відрізок, що з'єднує центр кола з точкою на колі, називається радіусом, радіуси рівні між собою (ОА = ОВ = R). Відрізок, що проходить через центр і з'єднує два радіуси, називається діаметром (СА – діаметр).

Відрізок, що з'єднує дві довільні точки кола, називається хордою (MN – хорда). Частина круга, що знаходиться між двома радіусами, називається сектором. Частина круга, яка відтинається хордою, називається сегментом.

Точки, які знаходяться в середині кола належать кругу, які лежать поза колом – не належать кругу. Точки кола належать кругу.

Навчаючи дітей креслити коло за допомогою циркуля, вчитель спочатку демонструє таку побудову на аркуші білого паперу, прикріпленого до дошки. При цьому він ознайомлює їх з інструкцією побудови кола за допомогою циркуля:

1. Розвести ніжку циркуля і вістря олівця на величину заданого радіуса. Для цього голку треба встановити на нульову поділку лінійки, а вістря олівця – на поділку, числове значення якої дорівнює заданій величині радіуса.

2. Встановити голку в задану точку. Для цього правою рукою треба тримати олівець, а пальцем лівої – спрямовувати вістря голки в задану точку.

3. Коло креслять в напрямі за годинниковою стрілкою, нахиливши циркуль трохи вперед у напрямі руху олівця. Починати креслити треба від нижньої точки кола (від себе).

4. Креслити коло треба однією правою рукою, тримаючи олівець за верхній кінець.

5. Лікоть правої руки спочатку відведений від корпусу, а в міру наближення вістря олівця до кінця (і до початку) кола поступово наближається до нього.

У процесі виконання вправ у дітей формуються уміння креслити кола певного радіуса.

б) Ламаною лінією, довжиною ламаної лінії, периметром многокутника, площею многокутника.

Використовуючи поняття відрізка, учнів 2 класу ознайомлюють з ламаною лінією. Для цього за зразком, наведеним учителем, учням дають завдання побудувати лінію з паличок або паперових смужок. Учитель дає назву новій лінії. Можна виготовити також модель ламаної, зламавши на очах у дітей тонку дротину. На дошці зображують іноді ламану за допомогою кольорової нитки, натягнутої між кількома кнопками – "точками", які не лежать на одній прямій. Учні проводять ламані лінії на дошці і в зошитах: ставлять 3 (4, 5 і т.д.) точки, які не лежать на одній прямій, і з'єднують їх відрізками. Щоразу діти підраховують, скільки відрізків має ламана лінія або скіль­ки в неї ланок. Так само, використовуючи практичні роботи, вво­дять поняття незамкнутої і замкнутої ламаної лінії. Учні будують з паличок (смужок паперу, дротинок) ламану лі­нію, знаходять її початок (початок першого відрізка) і кінець (кі­нець останнього відрізка). Учитель дає назву такій ламаній – не­замкнута, а потім пропонує з'єднати початок і кінець незамкнутої ламаної лінії. Учні самі здогадуються, що таку ламану лінію називають замкнутою. При цьому ланки з'єднують так, щоб вони, крім вершин, не мали спільних точок.

У процесі виконання вправ встановлюють зв'язок між замкну­тою ламаною лінією і многокутником, для якого ламана лінія є межею: замкнута ламана лінія з трьох ланок обмежує трикутник, з чотирьох ланок – чотирикутник і т.д.

Потім учнів ознайомлюють з вимірюванням ламаних ліній та­ким способом: виміряти ланки ламаної і додати знайдені числа. Щоб діти засвоїли поняття довжини ламаної лінії, треба розв'яза­ти достатню кількість вправ на знаходження довжини незамкну­тих і замкнутих ламаних ліній, які мають неоднакову кількість ланок.

Поняття про периметр многокутника формують у процесі розв'язування конкретної задачі на знаходження довжини замкнутої ламаної лінії. Учитель пояснює, що суму довжин сторін многокутника називають його периметром. На цьому ж уроці можна повідомити, що периметр позначають буквою Р (Р = 24 см). Спочатку краще розв'язати задачі на знаходження периметрів многокутників з нерівними сторонами, в процесі розв'язування яких закріплюють поняття про довжину ламаної лінії. Наприклад, учням роздають вирізані з паперу многокутники або накреслені на картках трикутники, чотирикутники і т. д. і дають завдання знайти периметр заданих фігур. Можна дати завдання побудувати многокутники за точками, що не лежать на одній прямій, з'єднати їх послідовно відрізками, позначити і розмалювати утворений мно­гокутник, а потім виміряти сторони і обчислити його периметр.

Потім спеціально розглядають знаходження периметра рівносторонніх многокутників, а також знаходження периметра прямо­кутника. Периметр цих фігур діти знаходять спочатку способом вимірювання їхніх сторін і додавання знайдених чисел. Тут же звертають увагу на властивості цих фігур – рівність усіх сторін або рівність протилежних сторін. Учні роблять висновок про можливість скоротити вимірювання: під час знаходження периметра рівностороннього трикутника, квадрата та інших многокутників з однаковими сторонами досить виміряти одну сторону, а потім по­множити її довжину на кількість сторін многокутника. Щоб знайти периметр прямокутника, досить визначити його довжину і ширину (тобто основу і висоту), потім помножити кожні з цих чисел на 2 і знайдені добутки додати. Тут учні, крім геометричних, закріплюють також і арифметичні знання. Використовуючи креслення, учні помічають, що можна зробити й інакше: знайти суму довжин суміжних сторін, а потім помножити цю суму на 2. За допомогою буквеної символіки записують так:

Для квадрата, як окремого виду прямокутника вводять наступну формулу обчислення периметра:

Р = а ∙ 4

У наступних класах систематично розв'язують задачі на обчислення периметра, а також задачі, обернені їм.

У 3-4 класах чотирирічної початкової школи учнів ознайомлюють з площею, одиницями її вимірювання (див. лекція "Величини"). У результаті вивчення теми встановлюють формулу обчислення площі прямокутника лабораторним методом: S = a ∙ b. Площа квадрата визначається формулою: S = a².

5. Ознайомлення з геометричними тілами в 1-4 класах

Перші уявлення про геометричні тіла діти дістають у дошкільному віці. У початкових класах для розвитку цих уявлень можна використати уроки математики, малювання, а також моделювання з пластиліну на уроках праці, прогулянки та екскурсії.

Можливі такі види роботи з геометричними тілами: розгляд предметів, моделей, малюнків, що мають певну геометричну форму; поступове введення назв геометричних тіл; знаходження в навколишньому середовищі предметів відповідної назви; моделювання геометричного тіла з пластиліну; виділення деяких елементів тіла (вершини, ребра, грані, основи); малювання на папері за зразком і вказівками вчителя.

У початкових класах учням слід дати поняття про такі геометричні тіла, як куля, куб, циліндр, прямокутний паралелепіпед, конус та піраміду.

У стереометрії вивчають фігури у просторі, які називаються тілами. Наочно геометричне тіло можна уявити як частину простору, зайняту фізичним тілом і обмежену поверхнею.

Многогранник – це таке тіло, поверхня якого складається із скінченої кількості плоских многокутників.

Призмою називається многогранник, який складається з двох плоских многокутників, які лежать у різних площинах і суміщаються паралельним перенесенням, та всіх відрізків, що сполучають відповідні точки цих многокутників. Многокутники називаються основами призми, а відрізки, які сполучають відповідні вершини, - бічними ребрами призми. Основи призмі рівні, бічні ребра призми паралельні і рівні.

Якщо основою призми є паралелограм, то вона називається паралелепіпедом. У паралелепіпеда всі грані – паралелограми.

Прямий паралелепіпед, у якого основою є прямокутник, називається прямокутним паралелепіпедом. Усі грані прямокутного паралелепіпеда – прямокутники.

Прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні, називається кубом.

Пірамідою називається многогранник, утворений усіма відрізками, що сполучають дану точку – вершину піраміди, з точками плоского многокутника – основи піраміди. Відрізки, що сполучають вершину піраміди з вершинами основи, називаються бічними ребрами. Кожна бічна грань піраміди – трикутник.

Циліндром називається тіло, що складається з двох кругів, які не лежать в одній площині і суміщаються паралельним перенесенням, і всіх відрізків, що сполучають відповідні точки цих кутів. Круги називаються основами циліндра, а відрізки, що сполучають точки кіл кругів, – твірними циліндра. Основи циліндра рівні, твірні циліндра паралельні і рівні. Радіусом циліндра називається радіус його основи. Висотою циліндра називається відстань між площинами його основ. Віссю циліндра називається пряма, яка проходить через центри основ.

Конусом називається тіло, яке складається з круга – основи конуса­, точки, яка не лежить у площині цього круга – вершини конуса і всіх відрізків, що сполучають вершину конус з точками кола основи, називаються твірними конуса. Висотою конуса називається перпендикуляр, опущений з його вершини на площину основи.

Кулею називається тіло, що складається з усіх точок простору, які знаходяться від даної точки на відстані, не більшій за дану. Ця точка називається центром кулі, а дана відстань радіусом кулі. Межа кулі називається кульовою поверхнею або сферою.

Тестові завдання для самоконтролю студентів до теми

лекції 11 « Методика вивчення геометричного матеріалу в початкових класах».

1. Уявлення про точку, пряму і криву лінію, відрізки і його властивості формується у концентрі:

="Десяток";

~ "Другий Десяток";

~ "Тисяча".

1. З прямим кутом учні знайомляться у:

=2 класі;

~ 2 і 3 класах;

~ 3 класі.

1. Уявлення про пряму лінію в першокласників формують у процесі виконання ними:

~ фізичних вправ;

=практичних вправ;

~ вправ розважальних.

1. Лінія, яка є межею круга, називається:

~ кругом;

~ ламаною;

=колом.

1. Відрізок, що з'єднує дві довільні точки кола, називається:

=хордою;

~ радіусом;

~ діаметром.

1. Тіло, поверхня якого складається із скінченої кількості плоских многокутників називається:

~ фігурою;

~ многокутником;

=многогранником.

1. Периметр геометричних фігур позначають латинською літерою:

=Р;

~ S;

~ H.

1. Площу геометричних фігур позначають латинською літерою:

=S;

~ K;

~ Р.

1. Кожна бічна грань піраміди:

~ шестикутник;

~ чотирикутник;

=трикутник.

1. Прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні, називається:

=кубом;

~ квадратом;

~ циліндром.

Максимальна кількість балів за одну правильну відповідь – 0,5 бала.

Всього – 5 балів за всі правильні відповіді

Лекція 12. (2 год.)

Тема: Методика вивчення частин і дробів в початкових класах.

1. Методика ознайомлення з частинами в початковій школі.

2. Розв'язування задач на частини:

2.1.Знаходження частини від числа;

2.2. Задачі на знаходження числа за його частиною.