 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Критерії оцінювання навчальних досягнень учнів 9-го класу
|
|
при вивченні теми «Нерівності»
| Рівні навчальних досягнень учнів | Бали | Критерії оцінювання навчальних досягнень учнів |
| І. Початковий | Учень (учениця) розпізнає нерівність серед запропонованих математичних виразів, виділивши її серед інших; читає і записує нерівності; переписує доведення нерівностей. | |
| Учень (учениця) впізнає нерівності і пояснює свій вибір; розв’язує однокрокові найпростіші нерівності, називає зображені на координатній прямій проміжки. | ||
| Учень (учениця) розпізнає види нерівностей за їх суттєвими властивостями; формулює означення рівносильних нерівностей; за допомогою вчителя (або опорного конспекту) доводить та розв’язує найпростіші нерівності з однією змінною (в тому числі подвійні) та їх системи, зображує на числовій прямій задані ними числові проміжки; виконує оцінювання значення найпростіших виразів. | ||
| ІІ. Середній | Учень (учениця) формулює означення та основні властивості нерівностей; називає алгоритм доведення нерівностей; формулює означення розв’язку лінійної нерівності з однією змінною; зображує на числовій прямій задані нерівностями проміжки, виконує обернене завдання; зображує переріз, об’єднання числових множин; виконує за зразком завдання обов’язкового рівня. | |
| Учень (учениця) дає та ілюструє прикладами з підручника чи конспекту означення та властивості числових, лінійних та рівносильних нерівностей; розв’язує нерівності та їх системи обов’язкового рівня за відомими алгоритмами з частковим поясненням. | ||
| Учень (учениця) дає та ілюструє власними прикладами означення та властивості числових, лінійних та рівносильних нерівностей, розв’язку нерівностей з однією змінною, їх систем та сукупностей; самостійно розв’язує числові та лінійні нерівності з однією змінною та їх системи обов’язкового рівня з достатнім поясненням; записує нерівності зі змінними, лінійні нерівності з однією змінною, подвійні нерівності за їх словесним формулюванням і навпаки. | ||
| ІІІ. Достатній | Учень (учениця) застосовує означення та властивості різних видів нерівностей для розв’язання завдань у знайомих ситуаціях; розв’язує лінійні нерівності з однією змінною, системи двох лінійних нерівностей з однією змінною без достатніх пояснень, зображує їх на числовій прямій за допомогою проміжків, перерізів і об’єднань проміжків; самостійно виправляє вказані йому помилки. | |
| Учень (учениця) володіє темою та розв’язує завдання, передбачені програмою (доведення та розв’язання числових нерівностей, лінійних нерівностей з однією змінною, розв’язання систем двох лінійних нерівностей з однією змінною, читає та записує розв’язки нерівностей та їх систем у вигляді об’єднання, перерізу числових проміжків або у вигляді відповідних нерівностей тощо) з частковими поясненнями, частково аргументує математичні міркування і розв’язування завдань. | ||
| Учень (учениця) вільно володіє поняттями числових нерівностей, лінійних нерівностей з однією змінною та їх систем, властивостями нерівностей; алгоритмами доведення та розв’язування нерівностей, їх систем та сукупностей, зазначеними програмою. Самостійно виконує завдання у знайомих ситуаціях з достатнім поясненням; виправляє допущені помилки; повністю аргументує розв’язок нерівностей та їх систем. | ||
| IV. Високий | Знання понять нерівностей (числові, зі змінними тощо) та їх властивості, розв’язку нерівностей, їх систем та сукупностей; знання способів доведення нерівностей; розв’язування нерівностей з однією змінною (лінійних, подвійних, з модулем), систем і сукупностей нерівностей; вміння зображувати на числовій прямій та записувати розв’язки нерівностей з однією змінною, їх систем і сукупностей повністю відповідають вимогам програми. Учень (учениця) усвідомлює ці знання, вміє достатньо їх обґрунтовувати; під керівництвом вчителя знаходить додаткові джерела інформації та самостійно їх використовує; розв’язує завдання з повним поясненням та обґрунтуванням; застосовує різні методи при розв’язуванні завдань за допомогою складання нерівностей, систем нерівностей. | |
| Учень (учениця) вільно і правильно висловлює міркування щодо нерівностей (числових та зі змінними) та їх властивостей, доведення нерівностей, розв’язування лінійних нерівностей з однією змінною, їх систем та сукупностей, переконливо їх аргументує; самостійно знаходить джерела інформації та опрацьовує їх; використовує набуті знання та вміння при розв’язуванні задач прикладного характеру, виконанні завдань із параметром, в незнайомих ситуаціях (складанням нерівностей з однією змінною або систем нерівностей); знає основні методи доведення та розв’язання нерівностей та їх систем, і вміє їх застосовувати з необхідним обґрунтуванням. | ||
| Учень (учениця) виявляє варіативність мислення, шукає раціональність в виборі способу доведення нерівностей та розв’язання лінійних нерівностей з однією змінною та їх систем; вміє узагальнювати і систематизувати знання з теми у вигляді опорного сигналу, таблиці чи моделі здобутих знань; здатний (а) до розв’язання нестандартних завдань (що вимагають скласти та розв’язати нерівність або систему нерівностей; розв’язати нерівність або систему, що містить деякий параметр; розв’язати систему 3 і більше лінійних нерівностей з однією змінною тощо), або застосовувати нестандартні прийоми у їх розв’язанні. |
2. Довідковий матеріал з теми «Нерівності»
(алгебра, 9 клас)
| Означення | Приклади | |||
| 1. Нерівності. Доведення нерівностей | ||||
| 1.1 | Два вирази, поєднані знаками відношення (крім знаку «=»), називаються нерівністю. |
 ;  ;  ; 
| ||
| 1.2 | Види нерівностей: - числові нерівності (обидві частини нерівності - числа); - нерівності зі змінними, які при одних значеннях можуть бути правильними, а при інших - неправильними. |
 - числова нерівність;
 - нерівність зі змінною  .
| ||
| 1.3 | Види нерівностей: - строгі й нестрогі; - правильні й неправильні. |
 - строгі нерівності;
 - нестрогі нерівності.
,  - правильні нерівності;
 ,  - неправильні нерівності.
| ||
| 1.4 |
Доведення нерівностей
Щоб довести нерівність  , тобто довести, що вона є правильною при заданих умовах, треба:
1) скласти різницю лівої та правої частин нерівності;
2) перетворити складену різницю так, щоб можна було визначити її знак;
3) зробити висновок.
|
1. Довести нерівність 
Доведення
Розглянемо різницю 
Отже, при будь-якому  .
2. Довести, що при додатних  і  правильна нерівність  , тобто сума двох додатних взаємно обернених чисел не менша ніж 2.
Доведення
Складемо різницю лівої та правої частин нерівності та перетворимо її:  . Оскільки  і  для будь-яких додатних і , то  .
Отже, нерівність доведено.
Нерівність перетворюється на рівність за умови, що  .
| ||
| Означення | Приклади | |||
| 2. Числові нерівності | ||||
| 2.1 |
Число а вважається більше b ( ), якщо різниця а – b - число додатне; число а менше b ( ), якщо різниця а – b - число від’ємне;
число а дорівнює b (), якщо різниця а – b дорівнює нулю.
|
Якщо  , тоді  .
Якщо  , тоді  .
Якщо  , тоді  .
| ||
| 2.2 |
Властивості числових нерівностей
1) Якщо , то  .
2) Якщо ,  то  .
3) Якщо , то  .
4) Якщо і  , то  .
5) Якщо і  , то  і  .
6) Якщо і  , то  і  .
7) Якщо ( ), то  .
8) Якщо ( ), то  .
9) Якщо (), то  .
|
1. Відомо, що  . Тоді:
1)  ;
2) якщо  , то  ;
3)  ;
4) якщо  , то  ;
5) якщо  , то  і  ;
6) якщо  , то  і  ;
7) якщо  , то  ;
8) якщо  , то  ;
9) якщо , то  .
2. Відомо, що . Порівняйте значення виразу  і  .
Розв’язання
Оскільки , то за властивістю 6 маємо:  , а за властивістю 3:  .
| ||
| 2.3 |
Оцінювання виразів
1. Якщо про деякий вираз (величину) А відомо не його точне значення, а нерівність, яку задовольняє А:  , де b і с – деякі дійсні числа, то кажуть, що ми оцінили значення виразу (величини) А.
2. Якщо необхідно оцінити значення виразу Р(х) (величини) зі змінною х, про яку відомо, що  ( ), то треба:
1) встановити правильну по-слідовність дій, яку слід виконати з х, щоб утворився вираз Р(х);
2) до заданої нерівності застосувати відповідні вла-стивості числових нерівностей (усі властивості числових нерівностей, які були роз-глянуті для нерівностей вигляду , виконуються й для подвійних нерівностей) у встановленому порядку.
|
Оцінити периметр правильного трикутника зі стороною см, якщо  .
Розв’язання
Периметр правильного трикутника зі стороною обчислюється за формулою:  . Помножимо на 3 всі частини заданої нерівності, запишемо результат: ,  ,  .
Отже, 
| ||
| 2.4 |
Додавання та множення
числових нерівностей
1. Теорема. Якщо почленно додати правильні нерівності однакового знака, залишивши їх спільний знак, то дістанемо правильну числову нерівність.
Якщо і  , то  .
Якщо  і  , то  .
2. Теорема. Якщо почленно помножити правильні нерівності однакового знака, в кожній частині яких – додатні числа, залишивши їх спільний знак, то дістанемо правильну нерівність.
Якщо  і  , то  .
Якщо і , де  , то  .
Якщо і  , n – натуральне число, то  .
|
Відомо, що  і  . Оцініть: 1)  ; 2)  ; 3)  ; 4)  .
Розв’язання
1) За теоремою про почленне додавання нерівностей маємо:  .
2) За теоремою про почленне множення нерівностей маємо:  .
3) Запишемо у вигляді суми:  . Оцінимо  :  або  . За теоремою про по членне додавання нерівностей маємо:  .
4) Запишемо частку у вигляді добутку  . Оцінимо  :    або  . За теоремою про почленне множення нерівностей маємо:  .
| ||
| 3. Нерівність з однією змінною | ||||
| 3.1 |
Поняття нерівності зі змінною
Якщо два вирази зі змінними з’єднати одним зі знаків:  (більше),  (менше),  (більше або дорівнює),  (менше або дорівнює), то дістанемо нерівність зі змінною.
Якщо з’єднати три вирази зі змінними знаками: , , , , то дістанемо подвійну нерівність.
|
 ;
 ;
 .
| ||
| 3.2 | Розв’язком нерівності називається значення змінної, що перетворює цю нерівність на правильну числову нерівність. |
Число 5 є розв’язком нерівності , оскільки при  ця нерівність перетворюється на правильну числову нерівність  , тобто  .
| ||
| 3.3 | Розв’язати нерівність означає знайти всі її розв’язки або довести, що їх немає. |
1. Розв’язком нерівності  є множина всіх дійсних чисел.
2. Нерівність  не має розв’язків, бо модуль будь-якого числа – число додатне.
| ||
| 3.4 | Якщо деяке значення змінної є розв’язком двох або більше нерівностей, то кажуть, що це значення змінної є розв’язком системи нерівностей. |
1. Число 3 є розв’язком системи нерівностей  , оскільки воно є розв’язком кожної з нерівностей.
2. Числа -1; 0; 2 не є розв’язками системи , оскільки  і  не є розв’язками жодної з нерівностей, а  є розв’язком тільки другої нерівності системи.
| ||
| 3.5 | Якщо деяке значення змінної є розв’язком хоча б однієї з поданих нерівностей з однією змінною, то кажуть, що це значення змінної є розв’язком сукупності нерівностей. |
1. Число 3 є розв’язком сукупності  , оскільки воно є розв’язком нерівності  .
2. Число 1 не є розв’язком сукупності , оскільки не є розв’язком жодної з нерівностей ,  .
| ||
Дата публикования: 2015-04-10; Прочитано: 544 | Нарушение авторского права страницы