Обработка результатов прямых многократных измерений

Цели обработки результатов многократных измерений заключается в нахождении значения измеряемой случайной величины и доверительного интервала, в котором находится ее истинное значение (ГОСТ 8.207-2006).

Прямыми называют измерения, результат которых определяется непосредственно по шкале средства измерения (СИ).

Многократны е измерения - если число измерений n >3.

Отличие многократных от однократных измерений состоит в том, что их результаты возможно обрабатывать методами математической статистики и теории вероятности.

В общем виде:

-для однократных измерений

А = ±∆(),

где А- результат измерения

- значение физической величины (оценка), найденное по шкале СИ.

∆()- абсолютная погрешность для найденного значения, определяется погрешностью СИ.

-для многократных измерений

А = ±∆(Рα =!, n =!),

где - оценка математического ожидания (среднее арифметическое значение измеряемой величины),

∆-доверительный интервал для ,

Рα- доверительная вероятность,

n- число измерений.

1. Число измерений n задано. При этом, чем больше n, тем более состоятельным будет , так как = f (n). При n→∞, →М(χ) (математическое ожидание).

В соответствии с теоретическими положениями математической статистики и теории вероятности необходимо установить закон распределения случайной величины. При этом возможны два варианта:

-принять закон распределения «априори», заранее;

-на основе расчета определенных критериев (критериев согласия).

При малом числе измерений n, если измерения проводятся тщательно, то можно утверждать, что распределение случайной величины χ не противоречит закону нормального распределения.

2. Статистические распределения принято оценивать по значениям их моментов. Моменты случайных величин, найденные без исключения систематических составляющих, называются начальными, а моменты для центрированных распределений — центральными.

Для этого определим числовые характеристики закона нормального распределения. В качестве оцениваемых параметров удобнее брать моменты, которые вычисляются по формулам:

т ₁ = = -среднее арифметическое;

т ₂= S = - среднее квадратическое отклонение (СКО), определяет зону рассеяния;

т ₃= = - выборочная асимметрия распределения;

т ₄= - выборочный эксцесс распределения.

3. При 8≤ n ≤20 возможна оценка неотрицания гипотезы закона нормального распределения по ассиметрии А и эксцессу Е. Для нормального распределения А =0 и Е =0.

Выборочные асимметрия и эксцесс, как и все выборочные параметры, являются случайными величинами, и могут отличаться от нуля. Применить общие методы критериев значимости трудно, так как распределения асимметрии и эксцесса очень сложны и мало изучены. Но известны дисперсии этих величин

-дисперсия выборочной асимметрии,

D(E) = - дисперсия эксцесса распределения,

где п — объем исследуемой выборки.

Дисперсия служит мерой рассеяния для любого распределения, в силу чего даже знание одной только дисперсии позволяет оценивать вероятности тех или иных значений исследуемой случайной величины. Поэтому по дисперсиям D(A) и D(E) можно оценивать, значимо ли выборочные асимметрия и эксцесс отклоняются от своих математических ожиданий, т. е. от нуля.

Тогда получаем следующий критерий согласия: если выборочные асимметрия и эксцесс удовлетворяют неравенствам

|А| ≤3 , |Е|≤5

то наблюдаемое распределение можно считать нормальным.

В противном случае гипотезу нормальности следует отвергнуть или считать сомнительной.

Уравнение кривой нормального распределения (кривой Гаусса) имеет вид:

;

где у - плотность распределения вероятности;

х - случайная величина;

σ _х – среднее квадратическое отклонение (СКО).

Рис. 1. Кривая нормального распределения

Основная масса изделий получается с размерами, лежащими в зоне ± σ относительно центра группирования. В табл. 1 представлены вероятности получения случайных величин в различных диапазонах.

Таблица 1 - Вероятности получения случайных величин в различных диапазонах

tσ	±1 σ	±2 σ	±3 σ	±4 σ
P	0,68	0,95	0,9973	0,999

Параметры , σ, σ ², определенные по данным выборки называются выборочными (опытными) данными и дают лишь приближенную характеристику теоретического распределения.

При достаточно большом числе измерений σ ² называется генеральной дисперсией. При малом числе измерений (менее 10 - 20) получают выборочную дисперсию ² ( ² → σ ², только при n → ∞). С уменьшением n надежность оценки ²= σ ² уменьшается, а значение доверительной вероятности Р _∂ завышается.

Так как наше практическое распределение согласуется с законом нормального распределения, тогда

1) практически все отклонения от , то есть () должны быть меньше 3 σ;

2) 2/3 всех отклонений () точнее 68,27%, то есть меньше σ;

3) 1/2 всех отклонений () равно 50%, то есть меньше 0,675 σ;

4. В процессе измерений возможно проявление грубых погрешностей (промахи) из-за действий оператора, неисправности СИ или резких изменений условий измерения.

Для обнаружения и исключения из результата вычисляют безразмерный коэффициент

при заданном уровне значимости α, и полученное значение сравнивают с теоретическим критерием β т (таблица 2). Если условие β ≥ β т не выполняется, то результат считается промахом и отбрасывается, и расчет производят заново.

Для технических измерений Р _∂=0,95 или Р _∂=0,99, то есть α =0,05 или α =0,01.

Таблица 2- Значения предельного коэффициента β т= f (α, n)

α	Число измерений
n =12	n =15	n =20
0,01	2,75	2,90	3,08
0,02	2,6	2,80	2,96
0,05	2,52	2,64	2,78
0,10	2,39	2,49	2,62

5. Результат любого измерения является случайной величиной, что обусловлено погрешностями процесса измерения. Степень доверия к результату называют достоверностью измерений. Она характеризуется вероятностью того, что истинное (действительное) значение измеряемой ФВ находится в указанном диапазоне. Этот интервал называют доверительным, а границы его - доверительными границами, между которыми с заданной доверительной вероятностью, находится истинное значение оцениваемого параметра:

,

где - среднее арифметическое (результат измерения),

P _δ – доверительная вероятность,

α -уровень значимости, α =1- P _δ

t_p- коэффициент Стъюдента, зависящий от степени свободы k=n -1, доверительной вероятности P _δ, который определяется из таблиц как t_p = f(nP _δ)

σ —среднее квадратичное отклонение результата измерения

Таблица 3- Значение коэффициента Стъюдента t_p = f(n,P _δ)

k=n-1	0,95	0,99	0,999	k=n-1	0,95	0,99	0,999
	2,78	4,60	8,61		2,093	2,861	3,883
	2,57	4,03	6,86		2,064	2,797	3,745
	2,45	3,71	5,96		2,045	2,756	3,659
	2,37	3,50	5,41		2,032	2,729	3,600
	2,31	3,36	5,04		2,023	2,708	3,558
	2,26	3,25	4,78		2,016	2,692	3,527
	2,23	3,17	4,59		2,009	2,679	3,502
	2,20	3,11	4,44		2,001	2,662	3,464
	2,18	3,06	4,32		1,996	2,649	3,439
	2,16	3,01	4,22		1,991	2,640	3,418
	2,15	2,98	4,14		1,987	2,633	3,403
	2,13	2,95	4,07		1,984	2,627	3,392
	2,12	2,92	4,02		1,980	2,617	3,374
	2,11	2,90	3,97	∞	1,960	2,576	3,291
	2,10	2,88	3,92

Пример.

Даны результаты 20 измерений диаметра вала.

Требуется: Проверитьгипотезу о нормальности изучаемого распределения.

Определить наличие грубых погрешностей и исключить их.

Определить точечную оценку истинного значения измеряемой величины -среднее арифметическое значение результатов измерений и математическое ожидание результатов измерений

Определить результат измерения

Оценить его точность и определить границы доверительного интервала с вероятностью Р _∂= 0,95 и Р _∂= 0,99

Определить точность изготовления данной детали.

61,7	62,8	60,7	61,8	60,8
60,7	62,6	61,5	61,0	63,5
65,2	60,5	63,5	61,4	64,2
57,8	65,2	60,5	62,5	64,7

Для удобства расчета, все найденные величины необходимо занести в таблицу.

n			-	( - )2	σ	3σ		( - )3		( - )4
1,878	5,634
	64,7	62,15	2,55	6,5025	-0,1083	16,581	2,526	42,283
	62,5	0,35	0,1225	0,043	0,015
	60,5	-1,65	2,7225	-4,492	7,412
	65,2	3,05	9,3025	28,373	86,537
	57,8	-4,35	18,9225	-82,313	358,061
	64,2	2,05	4,2025	8,615	17,661
	61,4	-0,75	0,5625	-0,422	0,316
	63,5	1,35	1,8225	2,46	3,322
	62,6	0,45	0,2025	0,091	0,041
	60,8	-1,35	1,8225	-2,46	3,322
	61,8	-0,35	0,1225	-0,043	0,015
	60,7	-1,45	2,1025	-3,049	4,421
	62,8	0,65	0,4225	0,275	0,179
	65,2	3,05	9,3025	28,373	86,357
	60,7	-1,45	2,1025	-3,049	4,421
	61,7	-0,45	0,2025	-0,091	0,041
	60,5	-1,65	2,7225	-4,492	7,412
	63,6	1,45	2,1025	3,049	4,421
	61,0	-1,15	1,3225	-1,521	1,749
	61,5	-0,65	0,4225	-0,275	0,179
∑			67,01	-14,347	628,341

1. Определяем среднее арифметическое значение:

65,15

2. Определяем опытное среднее квадратическое отклонение (СКО) при n≤20

1,878

3. Определяем выборочную асимметрию распределения

= = -0,1083

4. Определяем выборочный эксцесс распределения

= 1,743

5. Определяем дисперсию выборочной асимметрии

= = 0,236

6. Определяем дисперсию эксцесса распределения

D(E)= = = 0,579

|А| ≤3 0,1083≤3 = 3×0,485=1,455

0,1083≤1,455

|Е|≤5 1,743≤5 =5×0,761=3,805

1,743≤3,805