Глава III. Методы оценки коэффициентов эконометрических моделей c нестандартными ошибками

В данной главе рассматриваются основные подходы к оценке коэффициентов эконометрических моделей, свойства которых отличаются от “стандартов”, определенных в главе II условиями (2.21)–(2.23). Иными словами, у “нестандартной” ошибки ее ковариационная матрица может быть отлична от диагональной матрицы Cov (e)¹ s_e ² × Е, что является следствием существования корреляционных взаимосвязей между ее разновременными значениями на интервале (1, Т), дисперсия ошибки может не обладать свойством постоянства, s_e ²¹const (гетероскедастичность ошибки) или ошибка e может быть связана с одной или несколькими независимыми переменными эконометрической модели х_i.

Первый случай (наличия автокорреляционных взаимосвязей в ряду ошибки e_t, t =1,2,..., Т) формально может быть выражен следующим условием:

Соv (e)= W =s_e ² × S, S ¹ Е, (3.1)

где W – ковариационная матрица ошибок модели; S – матрица коэффициентов автокорреляции модели, отличная от единичной; s_e ²=const.

В общем случае матрица S может быть представлена в следующем виде:

S =

где, напомним, что r_k – коэффициент автокорреляции рядов ошибки e_t и e_t–k, k -го порядка, значение которого рассчитывается для k =1,2,... по формуле:

Во втором случае ковариационная матрица ошибки имеет следующий вид:

Сov (e)= W =

(3.4)

где формально s ₁²¹ s ₂² ¹...¹ s_Т ², т. е. дисперсия ошибки не постоянна, а s_e ² – постоянный множитель, l_t – переменные коэффициенты, t =1,2,..., Т. Выражение (3.4) характеризует свойство ошибки, известное в эконометрике как гетероскедастичность остатков. Иными словами, ряд ошибки характеризуется нестационарностью второго порядка, т. е. непостоянством второго центрального, а, значит, и начального моментов на интервале (1, Т), в то время как первый момент – математическое ожидание ошибки – принимает на этом интервале постоянное значение, равное нулю.

В эконометрических исследованиях теоретически возможна ситуация, когда оба рассмотренных случая встречаются одновременно, т. е. когда в ряду ошибки имеются автокорреляционные зависимости и ее дисперсия непостоянна.

Третий случай характеризуется нарушением условия (2.23), что означает отличие от нуля ковариации хотя бы одной независимой переменной х_i и ошибки модели e или, что то же самое, отличие от нуля их парного коэффициента корреляции, cov(х_it, e_t)¹0,

Нарушение условий (2.21) и (2.22) приводит к тому, что оценки коэффициентов эконометрических моделей, полученные на основе “классических” методов МНК и ММП, теряют некоторые свои “качества”. Прежде всего это относится к свойству эффективности оценок, полученных при ограниченных объемах выборки.

Нарушение условия (2.23), как это следует из выражения (2.10), приводит к потере оценками коэффициентов модели свойства несмещенности. Заметим, что если условия (2.21)–(2.23) не выполняются при Т ®¥, то оценки коэффициентов не обладают свойствами асимптотической эффективности и несмещенности (состоятельности).

Такая ситуация, в свою очередь, заставляет эконометриков искать определенные подходы, приемы получения “качественных” оценок параметров эконометрических моделей и при свойствах их ошибок, отличных от тех, которые были определены стандартными условиями (2.21)–(2.23).

Данные подходы и приемы обычно базируются на так называемых обобщенных методах оценивания – обобщенном МНК (ОМНК) и обобщенном ММП (ОММП), на использовании при получении оценок параметров моделей так называемых “инструментальных переменных”. Рассмотрим особенности этих подходов более подробно.