Несобственные интегралы. Эти интегралы являются простейшими обобщениями понятие интеграла Римана

Эти интегралы являются простейшими обобщениями понятие интеграла Римана. Различают два основных типа несобственных интегралов: интегралы с бесконечными пределами и интегралы от функций с особыми точками.

Интегралы с бесконечными пределами. По определению

,

,

,

причем А и В стремятся к бесконечности независимо друг от друга.

Если указанные пределы существуют, то говорят, что соответствующие несобственные интегралы сходятся; в противном случае – расходятся.

Если существует предел в симметричных границах

,

то этот предел называют главным значением несобственного интеграла.

Пример 2.6.

Рассмотрим несобственный интеграл , а > 0. Поскольку при a ¹ 1

,

а при a = 1

,

то исходный интеграл при a > 1сходится, а при a £ 1 – расходится.n

Пример 2.7.

Несобственный интеграл сходится и совпадает со своим главным значением, поскольку

.n

Достаточные признаки сходимости интегралов с бесконечными пределами. Поскольку интеграл заменой переменной x = -z сводится к интегралу , а интеграл разбивается на сумму двух интегралов , где с – произвольное число (см. раздел 2.3, свойства перемены местами пределов интегрирования и аддитивности для интеграла Римана), то достаточно сформулировать признаки сходимости для интегралов вида .

Критерий Коши. Несобственный интеграл вида сходится тогда и только тогда, когда для любого e > 0 существует такое b < + ¥,что для всех b ', b "> b

n

Несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится несобственный интеграл

Если несобственный интеграл сходится абсолютно, то он сходится и в обычном смысле, т.е. из сходимости интеграла следует сходимость интеграла n

Признаки сравнения. Если для функции f (x) ³ 0 при х ³ a существует предел

,

то при a > 1 и 0 £ k < + ¥ несобственный интеграл сходится, а при a £ 1 и 0 < k £ +¥ несобственный интеграл расходится. n

Пример 2.8.

Рассмотрим несобственный интеграл . Полагая a = 1, имеем , т.е. k = 1. Следовательно, данный интеграл расходится. Напротив, несобственный интеграл сходится, поскольку, полагая a = 1,5, имеем , т.е. k = 0n