Множества

Все мы в жизни встречались с понятием множества, дадим ему математическое определение: множество есть совокупность элементов любой природы, действительных или воображаемых. К примеру совокупность студентов данного вуза есть множество студентов данного вуза и т.д.. Вместе с множеством следует определить и подмножество множества: подмножество множества есть некая часть данного множества, то есть подмножество содержит часть элементов данного множества. К примеру множество студентов вуза можно разделить на множество студентов факультета и т.д.. Следует определить так же пустое множество: множество, не содержащее никаких элементов есть пустое множество.

Множества записываются в виде заглавных букв латинского алфавита, а его элементы – через прописные. Форма записи A={a, b, c,…} обозначает A – множество, a, b, c,… элементы и { } – совокупность. Принадлежность элемента a к множеству A записывается в виде a∈A или A∋a, а обратное a∉A или А∌a. Если B есть подмножество A, то записывается B⊂A или A⊃B, а поскольку из определения множество A может быть само своим подмножеством, то корректная форма записи B⊆A или A⊇B. Пустое множество записывается символом ∅.

Определим условия равенства двух множеств: два множества считаются равными тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов.

Так из определения следует что множество не зависит от очередности записи элементов, так как множества

{a, b, c} = {a, c, b} = {b, a, c} = {b, c, a} = {c, a, b} = {c, b, a}

Равны, так как состоят из одних и тех же элементов. Так же равны множества

{a, a, a, b, c, c} = {a, a, b, c, c} = {a, b, c, c} = {a, b, c}.

Определим высказывания, зависящие от параметра. К примеру рассмотрим высказывание P(x) = «x кратно двум». Подставляя вместо x числа мы сможем судить об истинности P(x), к примеру, P(2) = «2 кратно двум» что истинно, а скажем P(7) = «7 кратно двум» ложно. Еще один пример, допустим x ∈ A, где A = {«Корова», «Лев»}, а P(x) = «x - плотоядное животное». В случае x = «Корова» P(x) ложно, а в случае x = «Лев» P(x) истинно.

В случае теории множеств данные высказывания удобны для определения множеств и действий с ними. Рассмотрим множество данное таким определением:

Запись - A={x | P(x)=T} значит, что А есть множество всех элементов x, для которых P(x) истинно, то есть справа от черточки элемент, а с лева – условие принадлежности. То есть условие a∈A эквивалентно условию P(a)=T. Но так как a∈A так же высказывание, то можно записать

(a ∈ A) ≡ P(a)

Рассмотрим множество всех положительных целых четных чисел A = {2, 4, 6,…} и рассмотрим высказывание P(a) = «a кратно двум». Условие a∈A и P(a)=T эквивалентны, так как условие a∈A значит, что a четное положительное целое, что обеспечивает условие P(a)=T и наоборот. Так как условие a∈A и P(a)=T эквивалентны, то запись множества

A = {a | P(a)=T} эквивалентно записи A = {a | a∈A}. Данная рекуррентная форма записи самая примитивная, но истинна, так как значит, что a∈A если a∈A. Аналогично видно, что условие B⊂A эквивалентно (x∈B)⇒(x∈A) или что a∉A эквивалентно записи ⅂(а∈А).